要合法开设并运营一个公寓，确保所有经营活动都在法律框架内进行，您需要依次向相关部门申请并取得以下一系列关键证件：
营业执照：
- 这是任何合法经营的基础证件，您需要向当地工商行政管理部门提交登记（备案）申请书、申请人身份证明、经营场所使用证明等材料来申请。营业执照是公寓合法开展经营活动的凭证，没有它，您的公寓将无法进行任何商业活动。
特种行业经营许可证：
- 由于公寓涉及旅客住宿，这关系到旅客的安全和社会秩序管理，因此您需要向当地公安机关申请特种行业经营许可证。申请时，您需要提供营业执照、消防验收合格证明、旅馆方位图及标明房号的平面图等材料。公安机关会审核公寓的安全设施、管理制度等，确保公寓符合住宿业的安全标准。
消防检查合格证：
- 消防安全是公寓运营的重中之重，您必须确保公寓的消防设施配备齐全且有效。在建设和装修公寓时，您需要遵循消防规范，配备必要的消防设施。装修完毕后，您需要向当地消防部门申请消防验收，并取得消防检查合格证。消防部门会审核消防设施的配备和有效性、疏散通道等，以保障住客的生命财产安全。
卫生许可证 & 从业人员健康证：
- 公寓的卫生状况直接关系到旅客的健康，因此您需要向当地卫生行政部门申请卫生许可证。申请时，您需要提供申请书、承诺书、法人身份证明、公共场所地址方位示意图、平面图和卫生设施平面布局图等材料。卫生行政部门会审核公寓的卫生管理制度、公共用品消毒情况、空气质量、饮用水卫生等。同时，公寓的前台、保洁等直接为顾客服务的从业人员还需要到当地卫生部门指定的医疗机构进行健康检查，并取得从业人员健康证。
税务登记证：
- 依法纳税是每个经营者的义务，您需要在领取营业执照后，到当地税务部门进行补充登记和税种核定，以取得税务登记证。税务登记证将确定公寓的纳税义务和纳税方式，便于您进行纳税申报和缴纳税款。
其他相关证件：
- 如果您的公寓提供餐饮服务，那么您还需要向食品药品监督管理部门申请食品经营许可证。此外，根据当地政策和法规的不同，您可能还需要办理环保评估报告、房屋租赁合同备案等其他证件。为了确保您能够全面了解并满足所有要求，我建议您在筹备阶段就咨询当地相关部门或专业机构，以获取准确的信息和指导。
综上所述，开设公寓需要办理的证件较多且涉及多个部门。为了确保公寓能够合法合规地运营，避免后续可能出现的法律风险和经营障碍，我建议您在筹备阶段就充分了解相关政策法规和办理流程，并按照要求逐一办理所有必要的证件。