当员工被公司辞退时，其赔偿问题主要依据《中华人民共和国劳动法》及《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规来处理。以下是对这一问题的详细解答：

一、合法辞退的赔偿情况

1. 协商解除：

   • 若用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同，用人单位需支付经济补偿。
   • 经济补偿的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。月工资指的是劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

2. 无过失性辞退：

   • 在某些特定情况下，如劳动者患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作；或劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任；或劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且双方未能就变更劳动合同内容达成协议，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并需支付经济补偿。

3. 经济性裁员：

   • 当用人单位因企业破产重整、生产经营发生严重困难等情形需要裁减人员时，若裁减人数达到一定标准（如二十人以上或占企业职工总数百分之十以上），应提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后将裁员方案报劳动行政部门备案，并支付经济补偿。

二、违法辞退的赔偿情况

• 若用人单位违反法律规定解除劳动合同，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
• 赔偿金的计算公式为：赔偿金 = 经济补偿金 × 2。若用人单位未支付经济补偿，则直接按上述经济补偿标准的两倍计算。

三、特殊情形的处理

1. 试用期辞退：

   • 若劳动者在试用期间被证明不符合录用条件，用人单位可以解除劳动合同且无需支付经济补偿金，但需承担举证责任，证明已明确告知录用条件且劳动者确实不符。

2. 未签订书面合同：

   • 若用人单位超过一个月不满一年未与劳动者签订书面合同，劳动者有权要求双倍工资差额；若超过一年未签合同，则视为已订立无固定期限合同，此时辞退需按法定标准支付经济补偿或赔偿金。

3. 拖欠工资或社保：

   • 若用人单位未及时足额支付劳动报酬或缴纳社会保险费，劳动者可以解除合同并要求经济补偿。

四、注意事项与法律救济途径

1. 及时维权：

   • 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，劳动者在遭遇辞退或补偿问题时，应及时采取行动维护自身权益。

2. 保留证据：

   • 劳动者应保存劳动合同、工资条、辞退通知书等证据材料，以便在争议发生时能够提供有力支持。

3. 法律救济途径：

   • 若对辞退决定或补偿金额有异议，劳动者可以通过协商解决、劳动仲裁或诉讼维权等方式来维护自己的合法权益。

综上所述，被公司辞退时的赔偿问题涉及多种情形和法律规定。劳动者在面对此类问题时，应了解自己的权益和法律途径，及时采取行动维护自身利益。