结论：越过边境线后，警察仍然有权进行抓捕，但具体情形需根据越境行为的性质、目的以及相关法律规定来判断。
分析说明：
越境行为的性质：
- 非法越境：如果越境行为是未经许可、非法进行的，那么这种行为本身就违反了国家的边境管理法规。在这种情况下，警察有权对非法越境者进行抓捕，并依法进行处罚。
- 合法越境但后续违法：即使越境行为本身是合法的（如持有有效签证或通行证），但如果越境后在境内从事了违法犯罪活动，警察同样有权根据相关法律对其进行抓捕。
警察的抓捕权：
- 国内法律授权：警察作为国家的执法机关，其职责之一就是维护社会治安和打击犯罪。无论犯罪行为发生在国内还是国外（对于具有管辖权的犯罪），只要犯罪嫌疑人进入国内境内，警察都有权根据国内法律对其进行抓捕。
- 国际合作：在涉及跨国犯罪的情况下，国家之间通常会通过国际合作来共同打击犯罪。这可能包括引渡、司法协助等机制。但即使在没有国际合作的情况下，警察仍然有权对已经进入国内境内的犯罪嫌疑人进行抓捕。
具体情形下的抓捕：
- 在边境地区抓捕：如果越境者在边境地区被警察发现，且其行为涉嫌违法犯罪，警察有权立即进行抓捕。
- 在境内其他地区抓捕：如果越境者已经进入国内境内其他地区，且警察通过侦查等手段确定了其身份和犯罪事实，同样有权进行抓捕。
法律背景与建议：
- 法律背景：根据《中华人民共和国刑法》等相关法律规定，非法越境、偷越国（边）境等行为都是违法的，并可能受到刑事处罚。同时，对于在国内境内从事违法犯罪活动的外国人，警察也有权根据相关法律进行抓捕和处罚。
- 建议：如果您或他人涉及越境相关的问题，建议立即咨询专业律师以了解具体的法律后果和应对策略。同时，务必遵守国家的法律法规，不要从事任何违法犯罪活动。
可能后果：
- 如果越境行为被认定为非法，可能会面临行政处罚（如罚款、拘留等）或刑事处罚（如有期徒刑、拘役等）。
- 如果越境后在境内从事了其他违法犯罪活动，将根据具体犯罪情节和法律规定受到相应的处罚。
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