结论前置：能否申请住房补贴需分情况讨论，主要取决于原合同中关于住房补贴的约定、续住期间的实际履行情况以及当地政策规定。以下是具体分析：

1. 原合同有明确约定且续住期间实际履行
   若原劳动合同中明确约定了住房补贴的发放条件（如“合同期内每月发放XX元”），且续住期间用人单位仍按原标准实际发放补贴，则您有权继续享受该待遇。此时即使未续签书面合同，根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月未签书面合同的，需支付双倍工资，但这不影响已实际履行的住房补贴权益。

2. 原合同有约定但续住期间未履行
   若原合同约定了住房补贴，但续住期间用人单位停止发放，您可主张权利。根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第四十四条，因未续签书面合同产生的争议，用人单位需承担不利后果。您可要求用人单位补发补贴，或通过劳动仲裁主张权益。

3. 原合同未约定住房补贴
   若原合同未涉及住房补贴，续住期间能否申请需看两点：

   • 当地政策：部分地区将住房补贴纳入社会保障或福利体系（如公租房补贴、人才引进补贴），若您符合政策条件（如户籍、收入、社保缴纳等），可独立申请，与劳动合同无关。
     
   • 用人单位新承诺：若续住期间用人单位口头承诺发放补贴但未兑现，您需举证（如聊天记录、邮件、工资条等），否则可能因缺乏证据难以主张。

4. 续住超过一个月未签合同的影响
   根据《劳动合同法》第十条，建立劳动关系应订立书面合同。若续住超过一个月未签，用人单位需支付双倍工资（最多11个月），但这与住房补贴无直接关联。若您因此离职，还可依据《劳动合同法》第三十八条主张经济补偿金。

建议行动：

• 第一步：核查原合同中关于住房补贴的条款；
  
• 第二步：收集续住期间用人单位发放补贴的证据（如银行流水、工资条）；
  
• 第三步：咨询当地人社局或住房保障部门，确认是否符合政策性补贴条件；
  
• 第四步：若用人单位拒不履行，可向劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁。
  

如有进一步细节（如补贴性质、续住时长等），可向我补充说明，我会为您细化分析。