关于离婚协议中每月支付的生活费是否包含私立学费的问题，结论前置如下：
若离婚协议中有明确约定：如果离婚协议中明确写明生活费包含教育费，或者使用了诸如“孩子的一切费用由一方承担XX元作为生活费”等含义广泛的条款，且未特别排除私立学费，那么从协议约定的角度来看，私立学费应被视为包含在生活费的教育费部分当中。但需注意，若私立学费超出正常教育支出范围，且未直接抚养孩子的一方不同意承担，法院可能会根据具体情况进行判定。
若离婚协议中未明确约定或约定不明确：若离婚协议中没有对教育费，特别是私立学费进行明确的约定，或者约定不明确，那么这部分费用通常被视为额外费用。在这种情况下，不直接抚养孩子的一方需要与抚养方共同分担私立学费。具体的分担比例和方式应由双方根据实际情况协商确定；如果协商不成，可以通过诉讼等法律途径来寻求解决方案。
详细分析：
协议明确约定的情况：
- 离婚协议是双方自愿达成的具有法律效力的文件，其内容对双方均具有约束力。如果协议中明确约定了生活费包含教育费，且未对私立学费进行特别排除，那么支付生活费后，原则上无需再额外支付私立学费。但如前所述，若私立学费超出正常范围，且未直接抚养孩子的一方不同意承担，法院可能会根据孩子的实际需要、双方的负担能力以及当地的生活水平等因素进行综合判定。
协议未明确约定或约定不明确的情况：
- 在这种情况下，私立学费作为教育费的一部分，通常被视为额外费用。因为私立学校的学费往往高于公立学校，且不属于孩子基本教育所必需的费用。因此，不直接抚养孩子的一方有权要求与抚养方共同分担这部分费用。具体的分担比例和方式应由双方根据实际情况进行协商，如协商不成，则可以通过诉讼等法律途径来寻求解决方案。
法律建议：
- 明确约定：在签订离婚协议时，双方应充分沟通并协商，对教育费，特别是私立学费等各项费用的承担问题进行明确的约定。这可以避免未来可能出现的争议和纠纷。
- 细化条款：除了明确约定费用承担问题外，双方还可以在协议中细化其他相关条款，如支付方式、时间、金额等。这有助于确保协议的可行性和可操作性。
- 保留证据：在实际执行过程中，双方应保留好相关证据，如学费发票、支付记录等。这些证据在后续可能出现的争议中具有重要的证明作用。
可能产生的法律后果：
- 如果双方因私立学费问题产生争议且无法协商一致，那么未直接抚养孩子的一方可能会面临被抚养方提起诉讼的风险。在诉讼过程中，法院将根据双方提供的证据和法律规定进行综合判定，并作出相应的判决。因此，建议双方在签订离婚协议时务必明确约定相关费用承担问题，以避免不必要的法律纠纷。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。