在犯罪轻微且检察院不予起诉的情况下，当事人一般是可以开具无犯罪记录证明的，但具体执行可能因地区而异。以下从不同角度进行详细分析：
一、法律依据与解释
《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定：
- 根据《刑事诉讼法》第十六条，若存在情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪等情形，人民检察院应当作出不起诉决定。在这些法定不起诉的情形下，从法律层面认定当事人的行为不构成犯罪或不应当追究刑事责任，因此，当事人可以开具无犯罪记录证明。
- 根据《刑事诉讼法》第一百七十七条第二款，对于犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚的，人民检察院可以作出不起诉决定。尽管在这种情况下，犯罪嫌疑人实际上已经实施了犯罪行为，但由于情节轻微等原因，检察院最终决定不起诉。实践中，大部分地区对于酌定不起诉的当事人也会开具无犯罪记录证明，因为毕竟未经法院判决有罪。
“无犯罪记录”的定义：
- 无犯罪记录证明通常指的是未受过刑事处罚。在检察院作出不起诉决定的情况下，被不起诉人并未受到法院的有罪判决，因此从法律上讲，其并不属于有犯罪记录的人员。
二、可以开具无犯罪记录证明的具体情形
法定不起诉：
- 如果检察院认为犯罪嫌疑人没有犯罪事实，或者符合刑事诉讼法第十六条规定的不追究刑事责任的情形（如情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的等），从而作出不起诉决定，那么被不起诉人可以开具无犯罪记录证明。
酌定不起诉（相对不起诉）：
- 在某些情况下，虽然犯罪嫌疑人构成犯罪，但情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚，检察院也可以作出不起诉决定。这种情况下，被不起诉人同样可以开具无犯罪记录证明。
证据不足不起诉：
- 如果检察院经过审查后认为证据不足，不符合起诉条件，从而作出不起诉决定，被不起诉人也可以申请开具无犯罪记录证明。
三、地区差异与实际操作建议
地区差异：
- 虽然检察院不起诉通常意味着可以开具无犯罪记录证明，但不同地区的公安部门在具体执行时可能存在一定差异。有些地方可能会在证明上如实注明相关的不起诉情况。
实际操作建议：
- 在实际操作中，建议当事人在申请无犯罪记录证明前，先咨询当地公安机关或相关部门的具体要求，以确保申请的顺利进行。如果遇到任何问题或疑问，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律建议。
综上所述，犯罪轻微且检察院不予起诉的情况下，当事人一般是可以开具无犯罪记录证明的，但具体执行可能因地区而异。在申请过程中，应遵循相关法律法规和程序要求，并关注当地的具体规定和实践操作。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。