针对私人医院职工被辞退的赔偿问题，结论前置如下：

1. 若医院违法辞退，需支付赔偿金，标准为经济补偿的两倍。
2. 若医院合法辞退但需支付经济补偿，则按工作年限，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年算，不满六个月支付半个月工资。
3. 若员工存在过错被合法辞退，则医院无需支付经济补偿或赔偿金。

详细分析如下：

一、违法辞退的赔偿

若私人医院无故或未按法定程序辞退员工，构成违法辞退，医院需支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿的两倍，即按员工在医院工作年限每满一年支付两个月工资的标准计算。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付一个月工资的经济补偿的两倍作为赔偿金。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

实例说明：若员工在医院工作3年，月工资5000元，则赔偿金为3×5000×2=30000元。

二、合法辞退但需支付经济补偿的情形

在以下法定情形下，即使医院合法辞退员工，也需支付经济补偿：

1. 协商解除：医院与员工协商一致解除劳动合同，且由医院提出解除动议。
2. 无过失性辞退：包括员工患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作、不能胜任工作经培训或调整岗位仍不能胜任、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化无法履行且协商未果等情形。
3. 经济性裁员：医院因重整、生产经营发生严重困难等情形裁减人员，需提前三十日向工会或全体职工说明情况，并支付经济补偿。
4. 劳动合同期满终止：除医院维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止时医院应支付经济补偿。
5. 用人单位主体资格丧失：医院被依法宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或决定提前解散时，应支付经济补偿。

经济补偿的计算标准为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。

三、合法辞退且无需支付经济补偿的情形

若员工存在以下过错，医院可合法辞退且无需支付经济补偿：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件。
2. 严重违反医院规章制度。
3. 严重失职、营私舞弊，给医院造成重大损害。
4. 与其他用人单位建立劳动关系，对完成本职工作造成严重影响或拒不改正。
5. 以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，导致合同无效。
6. 被依法追究刑事责任。

四、特殊情况下的赔偿

• 医疗期补偿：员工在医疗期内被辞退，除经济补偿外，医院可能还需按当地规定支付医疗补助费。
• 未签合同补偿：医院自用工之日起超过一个月不满一年未与员工签订书面劳动合同的，应每月支付二倍的工资作为补偿。

五、处理建议与维权途径

1. 协商解决：员工首先应与医院尝试协商解决赔偿问题。
2. 申请仲裁：协商不成时，可向当地劳动争议仲裁机构申请仲裁，并提前收集好相关证据（如劳动合同、工资单、辞退通知等）。
3. 提起诉讼：对仲裁结果不满意，可向人民法院提起诉讼以维护自身合法权益。

在处理此类问题时，员工应充分了解自己的权益和可能的赔偿情形，以便在必要时采取适当的维权措施。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。