在劳务派遣关系中，劳务公司和用工单位各自承担的法律责任可以归纳如下：
一、劳务公司的法律责任
劳动合同签订与履行责任：
- 劳务公司作为用人单位，必须与被派遣劳动者签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务，包括劳动合同期限、工作内容和工作地点、工作时间和休息休假、劳动报酬、社会保险等条款。
- 劳务公司需按照劳动合同的约定，向被派遣劳动者支付劳动报酬，并为其缴纳社会保险费。若劳务公司未按时足额支付劳动报酬或未依法缴纳社会保险费，将承担相应的法律责任，如支付经济补偿金、赔偿金等。
劳动保护与职业危害防护责任：
- 劳务公司有义务向被派遣劳动者提供必要的劳动保护条件，确保其在劳动过程中的安全与健康。
- 若被派遣劳动者从事有职业危害的工作，劳务公司还需为其提供相应的职业危害防护措施，并进行定期的健康检查。
培训与教育责任：
- 劳务公司应对被派遣劳动者进行必要的岗位培训，确保其具备从事派遣岗位工作的技能和知识。
- 劳务公司还需对被派遣劳动者进行劳动安全卫生教育，提高其安全意识和自我保护能力。
违法派遣的法律责任：
- 若劳务公司违反法律规定，如未与被派遣劳动者签订劳动合同、未支付劳动报酬、未缴纳社会保险费等，将面临行政处罚，如罚款、责令改正等。
- 在严重情况下，劳务公司还可能需承担民事赔偿责任，甚至刑事责任。
二、用工单位的法律责任
劳动条件提供责任：
- 用工单位作为实际使用被派遣劳动者的单位，需为被派遣劳动者提供符合国家规定的劳动安全卫生条件和必要的劳动保护设施。
- 用工单位应确保被派遣劳动者的工作环境安全、卫生，避免发生劳动安全事故。
同工同酬责任：
- 用工单位应按照同工同酬的原则，对被派遣劳动者与本单位同类岗位的劳动者实行相同的劳动报酬分配办法。
- 若用工单位未实行同工同酬，将面临法律责任，如支付差额工资、赔偿金等。
培训与考核责任：
- 用工单位有义务对被派遣劳动者进行岗位培训，提高其工作技能和效率。
- 用工单位还需对被派遣劳动者的工作表现进行考核，并根据考核结果进行奖惩。
违法用工的法律责任：
- 若用工单位违反法律规定，如未提供劳动条件、未实行同工同酬、违法解除劳动合同等，将面临行政处罚和民事赔偿责任。
- 在严重情况下，用工单位的相关责任人员还可能需承担刑事责任。
三、劳务公司与用工单位的连带责任
在劳务派遣关系中，若被派遣劳动者因工作遭受事故伤害或患职业病，劳务公司与用工单位需承担连带赔偿责任。这意味着，无论事故或职业病是由劳务公司的过错还是用工单位的过错造成的，被派遣劳动者都有权要求劳务公司和用工单位共同承担赔偿责任。
总结与建议：
劳务公司和用工单位在劳务派遣关系中各自承担着不同的法律责任。劳务公司作为用人单位，需与被派遣劳动者签订劳动合同、支付劳动报酬、缴纳社会保险费等；用工单位作为实际使用单位，需提供劳动条件、实行同工同酬、进行培训与考核等。双方还需共同承担被派遣劳动者因工作遭受事故伤害或患职业病的连带赔偿责任。因此，建议劳务公司和用工单位在签订劳务派遣协议时，明确各自的权利和义务，加强沟通与协作，共同维护被派遣劳动者的合法权益。若您在劳务派遣关系中遇到任何法律问题，欢迎直接向我咨询。