设立自治机关主要行使的是自治权。这一权力是基于国家统一领导下的民族区域自治制度，旨在保障少数民族的合法权益，促进民族地区的经济和社会发展，确保国家的统一和各民族的共同繁荣。以下是对自治机关所行使自治权的详细解析：

1. 立法自治权：

   • 民族自治地方的人民代表大会，如自治区、自治州、自治县的人民代表大会，有权根据当地民族的政治、经济和文化的特点，制定自治条例和单行条例。这些条例在不违背宪法和法律原则的前提下，为加速民族自治地方的经济、文化建设提供了特殊政策和灵活措施的法律基础。例如，它们可以针对本地的特殊情况，制定更加符合实际的教育、环保、资源利用等方面的法规。

2. 经济与财政自治权：

   • 自治机关在国家计划的指导下，有权自主地安排和管理地方性的经济建设事业。这包括制定经济建设的方针、政策和计划，合理调整生产关系和经济结构，以及安排地方基本建设项目。同时，自治机关还有管理地方财政的自治权，能够自主地安排使用属于本地方的财政收入，如通过税收优惠、财政补贴等方式促进本地经济发展。

3. 文化管理自治权：

   • 自治机关负责管理和发展本地方的教育、科学、文化、卫生、体育等事业。它们可以保护和整理民族文化遗产，推动民族文化的繁荣与发展。例如，通过设立民族学校、举办民族文化节庆活动等方式，弘扬和传承本民族的优秀文化传统。

4. 变通执行与停止执行的权力：

   • 对于上级国家机关的决议、决定、命令和指示，若它们不适合本地的实际情况或违背民族利益，自治机关在报经上级国家机关批准后，有权选择变通执行或停止执行。这一权力确保了自治地方能够根据自身的实际情况做出最适宜的决策，避免“一刀切”的政策执行方式。

5. 其他重要自治权：

   • 自治机关还享有其他一些重要的自治权，如根据国家的军事制度和当地实际需要，在经国务院批准后，可以组织本地方的公安部队以维护社会治安；在执行职务时，可依照本民族自治地方的自治条例规定，使用当地通用的一种或多种语言文字等。

法律背景与建议：

• 法律背景：上述自治权的行使均受到《中华人民共和国宪法》和《中华人民共和国民族区域自治法》等法律法规的保障和规范。这些法律法规为自治机关行使自治权提供了明确的法律依据和程序保障。
• 法律建议：在实际操作中，自治机关应充分利用这些自治权，结合本地实际情况，制定出最适合本民族发展的政策和策略。同时，自治机关在行使自治权时也应遵守国家法律法规的规定，确保自治权的行使不违背国家法律的原则和精神。

如果您在民族区域自治制度或自治机关行使自治权方面有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问，我将根据您的具体情况提供详细的法律解答和建议。