结论前置：父亲去世时，继母名下的银行存款是否属于遗产，需根据存款的性质（个人财产或夫妻共同财产）、是否存在合法有效的遗嘱，以及继承人与被继承人之间的法律关系（如扶养关系）来综合判断。

一、存款性质与继承权

1. 继母个人存款：

   • 若存款完全属于继母的个人财产，那么在父亲去世时，这部分存款并不直接成为父亲的遗产。继母在世时，他人（包括继子女）无权继承。
   • 继母去世后，若未留下遗嘱，则按照法定继承程序，由配偶、子女（包括有扶养关系的继子女）、父母作为第一顺序继承人共同继承。
   • 若继母留有遗嘱，则按遗嘱分配其个人存款。

2. 夫妻共同存款：

   • 若存款是父亲与继母在婚姻关系存续期间共同积累的，那么存款中有一半份额属于父亲的遗产。
   • 父亲去世后，这一半存款进入继承程序。首先查看父亲是否留有遗嘱，有遗嘱则按遗嘱执行；无遗嘱则按法定继承，由第一顺序继承人（包括继母、父亲的婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女，以及父亲的父母）共同继承。

二、遗嘱的影响

• 存在合法有效遗嘱：

  • 如果父亲或继母留有合法有效的遗嘱，且遗嘱中对存款的分配有明确指示，那么必须按照遗嘱内容执行。
  • 遗嘱可以指定继承人，也可以排除某些继承人的继承权。

• 不存在或遗嘱无效：

  • 如果不存在遗嘱或遗嘱无效，那么将按照法定继承程序处理遗产。
  • 法定继承中，第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。若他们不存在，则由第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。

三、继子女的继承权与扶养关系

• 有扶养关系的继子女：

  • 如果继子女与继父母之间形成了实际的抚养和教育关系，那么继子女有权作为第一顺序继承人参与继承。
  • 这意味着，在继母去世后，有扶养关系的继子女有权继承继母的个人存款（如果继母未留遗嘱）或父亲与继母共同存款中属于父亲遗产的部分（如果父亲未留遗嘱）。

• 无扶养关系的继子女：

  • 如果继子女与继父母之间没有形成实际的抚养和教育关系，那么继子女通常无权继承继父母的财产。
  • 但是，如果继父母通过遗嘱明确指定其为继承人，则除外。

四、实际操作建议

• 在处理此类继承事宜时，应首先明确存款的性质和遗嘱的存在与否。这可能需要查阅银行记录、遗嘱文件等相关证据。
• 如果存在疑问或争议，建议及时向我咨询，以获取具体的法律意见和帮助。我可以根据具体情况，为你提供详细的法律分析和建议。
• 继承过程中需遵循相关法律法规，确保继承的合法性和有效性。这包括遵守继承顺序、尊重遗嘱意愿、保护继承人权益等。

综上所述，父亲去世时继母名下的银行存款是否属于遗产，需根据具体情况综合判断。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。