在一审判决后未生效期间发现新的犯罪事实，程序启动的方式主要取决于新发现的犯罪事实与原判决的关系以及案件所处的具体阶段。以下从不同角度为您详细分析：
一、新犯罪事实与原判决无关的情况
若新犯罪事实与原判决所认定的犯罪事实完全独立，即新犯罪事实并非原判决的遗漏或相关联犯罪：
- 程序启动：由于原判决尚未生效，但新犯罪事实与原判决无关，因此，对于新发现的犯罪事实，应当由公安机关依法进行立案侦查，检察机关审查起诉，最终由法院进行审判。这一过程与原判决的生效与否无直接关联，是独立的刑事诉讼程序。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应当按照管辖范围，迅速进行审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任的时候，应当立案。
对原判决的影响：
- 新犯罪事实的发现和审判不会直接影响原判决的生效和执行。原判决在上诉期满或抗诉期满后，若未被上诉或抗诉，则发生法律效力。新犯罪事实的审判将独立进行，不受原判决的影响。
二、新犯罪事实与原判决有关的情况
若新犯罪事实是原判决遗漏的犯罪事实或与原判决认定的犯罪事实相关联：
- 程序启动：在这种情况下，由于原判决尚未生效，且新犯罪事实与原判决紧密相关，因此，通常需要通过审判监督程序（再审程序）来纠正原判决的遗漏或错误。具体来说，检察机关或法院在发现新犯罪事实后，可以提出抗诉或建议再审，由法院对原判决进行重新审理，并将新犯罪事实纳入审理范围。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，各级人民法院院长对本院已经发生法律效力的判决和裁定，如果发现在认定事实上或者在适用法律上确有错误，必须提交审判委员会处理。同时，上级人民法院对下级人民法院已经发生法律效力的判决和裁定，如果发现确有错误，有权提审或者指令下级人民法院再审。
对原判决的具体影响：
- 在再审程序中，法院将重新审理原判决，并将新犯罪事实纳入审理范围。如果新犯罪事实成立，且对原判决有实质性影响，法院将根据新的事实和证据对原判决进行改判或撤销原判决，并作出新的判决。
三、特殊情况下的处理
若原判决在上诉或抗诉期间，且新犯罪事实被发现：
- 在这种情况下，由于原判决尚未生效，且案件仍处于上诉或抗诉阶段，因此，对于新发现的犯罪事实，可以由检察机关在抗诉书中一并提出，或者由法院在审理上诉或抗诉案件时一并审理。这有助于确保案件的全面、公正审理。
若原判决已经生效，但后续发现新犯罪事实：
- 虽然这超出了您问题的范围，但为全面解答，我简要提及：在这种情况下，通常需要通过审判监督程序（再审程序）来纠正原判决的遗漏或错误。同时，对于新发现的犯罪事实，应当依法进行立案侦查、审查起诉和审判。
总结与建议：
- 在一审判决后未生效期间发现新的犯罪事实，程序启动的方式取决于新犯罪事实与原判决的关系。若新犯罪事实与原判决无关，则独立进行刑事诉讼程序；若有关联，则通常通过审判监督程序进行纠正。
- 鉴于刑事诉讼程序的复杂性和严肃性，我建议您在遇到此类情况时，及时咨询专业律师，以便根据具体情况制定合适的法律策略。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。