关于您提出的“金融公司贷款买车第一个月能否还款”以及“一个月还清后金融公司不给绿本怎么办”的问题，我可以给您以下详细的解答：
一、金融公司贷款买车第一个月能否还款
一般来说，金融公司贷款买车的还款计划是按照合同约定的期限和方式进行还款的。通常情况下，第一个月是需要开始还款的，但具体的还款日期和金额会根据您的贷款合同和金融机构的规定来确定。建议您仔细查阅贷款合同，或联系金融公司的客服部门，以了解具体的还款安排。
二、一个月还清后金融公司不给绿本怎么办
了解合同条款：首先，您需要仔细查看贷款合同中关于还清贷款后车辆所有权转移和绿本（即车辆登记证书）交付的相关条款。如果合同中明确规定了还清贷款后金融公司应交付绿本，那么金融公司不给绿本就违反了合同约定。
与金融公司沟通：如果金融公司未按照合同约定交付绿本，您可以先与金融公司的客服部门或相关部门进行沟通，了解原因并要求其履行合同义务。在沟通过程中，保持冷静和理性，尽量通过书面形式（如邮件、短信等）留下沟通记录。
法律途径维权：如果金融公司拒绝履行合同义务，您可以通过法律途径来维护自己的权益。您可以向我（作为您的律师）咨询具体的法律解决方案，包括但不限于向法院提起诉讼或向相关监管部门投诉。
保留证据：在整个过程中，请务必保留好所有相关的证据，如贷款合同、还款记录、沟通记录等。这些证据将在您维权过程中起到至关重要的作用。
综上所述，金融公司贷款买车第一个月通常是需要开始还款的，而还清贷款后金融公司不给绿本则属于违约行为。您可以先通过沟通解决，如果无法解决，则可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。