结论：公司法人病故后，公司存款和利润分红能否由子女亲戚继承，需根据具体情况判断，主要取决于公司性质及公司章程、股东协议等文件的规定。以下从不同角度进行分析：
一、公司性质对继承的影响
有限责任公司：
- 股东资格继承：根据《中华人民共和国公司法》第七十五条，自然人股东死亡后，其合法继承人可以继承股东资格；但是，公司章程另有规定的除外。这意味着，如果公司章程没有特别规定，法人的子女或亲戚作为合法继承人，可以继承其股东资格，进而享有公司分红等权益。
- 公司存款处理：公司存款属于公司资产，不属于股东个人财产。因此，股东死亡后，其个人对公司享有的债权（如借款给公司）可能作为遗产继承，但公司存款本身并不直接由继承人继承。继承人继承的是股东资格，通过股东资格间接享有公司分红等权益。
股份有限公司：
- 股份继承：股份有限公司的股份转让相对自由，股东死亡后，其股份可以依法转让或继承。继承人通过继承股份，成为公司股东，享有相应的股东权益，包括分红权。
- 同样，公司存款不直接继承：与有限责任公司相同，股份有限公司的存款也属于公司资产，不直接由继承人继承。
一人有限责任公司：
- 特殊情况：如果公司法人是一人有限责任公司的唯一股东，其死亡后，公司可能面临解散或股权继承问题。此时，继承人可以继承股权，成为公司新股东。但需注意，一人有限责任公司的股东需对公司债务承担连带责任，继承人继承股权后，也需承担相应责任。
- 公司存款与利润：同样，公司存款和利润不直接由继承人继承，而是通过继承股权间接享有。
二、公司章程与股东协议的影响
- 公司章程规定：公司章程是公司的“宪法”，对公司、股东、董事、监事、高级管理人员具有约束力。如果公司章程对股东资格继承有特别规定（如限制继承、指定继承人等），则需按照章程规定执行。
- 股东协议约定：股东之间可能签订股东协议，对股权转让、继承等事项进行约定。如果股东协议中有相关约定，且该约定不违反法律法规强制性规定，则需按照协议约定执行。
三、实际操作建议
- 查阅公司章程与股东协议：首先，应查阅公司章程和股东协议，了解其中对股东资格继承、股权转让等事项的规定。
- 办理继承手续：如果继承人符合继承条件，应按照相关法律法规办理继承手续，包括公证、股权变更登记等。
- 咨询专业律师：由于公司继承问题涉及法律、财务、税务等多方面知识，建议继承人咨询专业律师，以确保继承过程合法合规，维护自身权益。
举例说明：假设某有限责任公司法人张三死亡，其有一子李四。公司章程未对股东资格继承作出特别规定。此时，李四作为合法继承人，可以继承张三的股东资格，成为公司新股东，享有公司分红等权益。但公司存款本身并不直接由李四继承，而是通过其股东资格间接享有。
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