核心结论：企业经营期限到期且存在冒名监事的情况，需分步骤处理，包括先解决冒名监事问题，再处理企业经营期限到期事宜。以下为详细说明：

1. 解决冒名监事问题

   • 收集证据：首先，要收集能够证明监事被冒名的相关证据。这可能包括但不限于：公司设立或变更登记时的相关文件，如股东会决议、监事任职文件等，若这些文件上的签名并非被冒名者本人所签，可进行笔迹鉴定；被冒名者本人的身份证明、声明书，声明其从未担任过该公司监事，也未参与过公司的任何经营活动；其他能够证明冒名事实的证据，如与冒名者相关的通信记录、证人证言等。
   • 向工商部门申请撤销登记：准备好证据后，向公司登记机关（通常是市场监督管理部门）提交撤销监事登记的申请。申请时需提交书面申请书，详细说明冒名登记的事实和理由，并附上相关证据材料。工商部门在收到申请后，会进行调查核实。如果经调查认定冒名登记事实成立，会依法作出撤销监事登记的决定。
   • 提起行政诉讼（如有必要）：如果工商部门在调查后未作出撤销登记的决定，或者被冒名者对工商部门的处理结果不服，可以在法定期限内向人民法院提起行政诉讼，请求法院判决撤销工商部门作出的监事登记行为。在行政诉讼中，被冒名者作为原告，需要承担举证责任，证明冒名登记事实的存在。

2. 处理企业经营期限到期事宜

   • 召开股东会或股东大会决议延续或解散：在企业经营期限到期前，公司应按照公司章程的规定召开股东会或股东大会，就公司的延续或解散等事项进行决议。如果股东会或股东大会决议延续公司的经营期限，那么需要在经营期限届满前办理相应的变更登记手续，向工商部门提交变更登记申请书、股东会或股东大会决议等文件，申请延长经营期限。如果股东会或股东大会决议解散公司，那么需要按照法定程序进行清算。
   • 清算程序（如决议解散）：如果公司决议解散，需要成立清算组，开始清算程序。清算组由股东组成，如果是国有独资公司，清算组由国有资产监督管理机构指定的人员组成。清算组在清算期间负责清理公司财产、编制资产负债表和财产清单、通知或公告债权人、处理与清算有关的公司未了结的业务、清缴所欠税款以及清算过程中产生的税款、清理债权债务、处理公司清偿债务后的剩余财产等。清算结束后，清算组需要制作清算报告，报股东会、股东大会或者人民法院确认，并报送公司登记机关，申请注销公司登记，公告公司终止。

在处理这些问题时，务必确保所有程序都符合法律法规的要求，以避免后续可能出现的法律纠纷。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。