当用人单位未与劳动者签订书面劳动合同时，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者有权要求相应的赔偿。以下是对这一问题的详细解答：
一、赔偿的法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。若自用工之日起满一年仍未签订，则视为双方已订立无固定期限劳动合同，但在此之前的一年内，用人单位仍需支付双倍工资差额。
二、赔偿的具体标准
双倍工资差额：
- 用人单位在用工之日起超过一个月不满一年的期间内未签订劳动合同，需向劳动者支付双倍工资的差额部分。
- 例如，若劳动者月工资为5000元，且用人单位在用工后第2个月至第11个月期间未与其签订劳动合同，则用人单位需额外支付这10个月的工资差额，即5000元/月 × 10个月 = 50000元。
视为无固定期限劳动合同后的处理：
- 若用人单位自用工之日起满一年仍未签订书面劳动合同，则自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，仍需支付双倍工资差额。
- 满一年后，视为双方已订立无固定期限劳动合同，此时不再适用双倍工资差额的规定，但用人单位仍需履行无固定期限劳动合同的义务，如提供劳动条件、支付劳动报酬等。
三、赔偿的计算时间范围
- 起算时间：自用工之日起满一个月的次日开始计算。
- 截止时间：至补订书面劳动合同的前一日或满一年的前一日（以先到者为准）。
四、申请赔偿的途径
- 协商：劳动者可与用人单位就赔偿事宜进行协商，尝试达成和解协议。
- 投诉：若协商无果，劳动者可向当地劳动监察部门投诉，由劳动行政部门责令用人单位改正并支付赔偿金。
- 仲裁：劳动者还可申请劳动仲裁，通过法律途径维护自身权益。在仲裁过程中，劳动者需提供与用人单位存在劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资条等。
- 诉讼：对仲裁结果不服的，劳动者还可向人民法院提起诉讼。
五、注意事项
- 时效问题：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时主张权利，避免超过时效期间。
- 证据收集：劳动者在维权过程中应保留好与用人单位存在劳动关系的证据，以便在协商、投诉、仲裁或诉讼时提供有力支持。
综上所述，用人单位未按时与劳动者签订书面劳动合同，不仅可能面临支付二倍工资的经济负担，还可能在劳动关系上被视为已与劳动者订立了无固定期限劳动合同。因此，建议用人单位严格遵守法律规定，及时与劳动者签订书面劳动合同。同时，劳动者也应了解自己的合法权益，并在遇到类似情况时积极采取法律手段进行维权。