原被告确实可以分别申请民事监督。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律依据与原则
在民事诉讼中，监督程序是确保司法公正、维护当事人合法权益的重要环节。根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，当事人（包括原告和被告）在认为民事判决、裁定存在错误，或者调解书违反自愿原则、内容违法时，均有权向人民检察院申请检察建议或者抗诉，即申请民事监督。这一规定体现了法律对当事人平等保护的原则，无论原告还是被告，只要认为自己的合法权益受到侵害，都可以依法寻求救济。
二、申请民事监督的条件与程序
申请条件：
- 当事人认为民事判决、裁定存在错误，或者调解书违反自愿原则、内容违法；
- 申请监督的判决、裁定、调解书已经发生法律效力；
- 当事人未在法定期限内向人民法院申请再审，或者申请再审被驳回，或者人民法院已经裁定再审但尚未审结。
申请程序：
- 当事人应当向人民检察院提交书面申请，并附相关证据材料；
- 人民检察院对申请进行审查，认为符合受理条件的，应当立案受理；
- 人民检察院审查后，认为判决、裁定、调解书确有错误，或者调解书违反自愿原则、内容违法的，应当向人民法院提出检察建议或者抗诉。
三、原被告分别申请民事监督的注意事项
- 独立申请：原告和被告作为独立的诉讼主体，可以分别向人民检察院申请民事监督。他们的申请是独立的，互不影响。
- 证据充分：当事人在申请民事监督时，应当提供充分的证据材料，以证明判决、裁定、调解书存在错误或者违反自愿原则、内容违法。
- 遵守期限：当事人应当在法定期限内申请民事监督，逾期申请的，人民检察院可能不予受理。
- 尊重司法程序：当事人在申请民事监督过程中，应当尊重司法程序，不得干扰人民法院的正常审判活动。
四、可能的结果与影响
- 人民检察院提出检察建议或抗诉：如果人民检察院认为判决、裁定、调解书确有错误或者违反自愿原则、内容违法，可能会向人民法院提出检察建议或者抗诉。这将导致人民法院对案件进行重新审查，并可能作出新的判决、裁定。
- 人民检察院不予支持：如果人民检察院认为当事人的申请不符合受理条件或者证据不足，可能会不予支持。此时，当事人可以通过其他途径寻求救济，如申请再审或者提起新的诉讼。
总结来说，原被告在民事诉讼中均有权分别申请民事监督。这是法律赋予当事人的重要权利，也是确保司法公正、维护当事人合法权益的重要途径。如果你在民事诉讼中遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。