结论：开国家单位公车致人死亡，司机是否承担刑事拘留责任，并非一概而论，而是取决于具体的事故情况、责任划分以及是否存在违反交通管理法规的行为等多重因素。
一、可能构成刑事拘留的情形
责任判定与交通肇事罪：
- 根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条，如果司机在交通事故中负全部或主要责任，并且导致一人死亡，那么可能会构成交通肇事罪。在此情况下，公安机关有权对司机进行刑事拘留。
- 例如，司机严重超速、闯红灯或酒驾等违反交通运输管理法规的行为导致事故发生，并负有主要或全部责任，那么该司机涉嫌交通肇事罪，可能会被刑事拘留。
特定拘留情形：
- 除了构成交通肇事罪外，如果司机存在正在预备犯罪、实行犯罪或在犯罪后即时被发觉；被害人或在场亲眼看见的人指认其犯罪；在身边或住处发现有与犯罪相关的证据；犯罪后企图自杀、逃跑或在逃；有毁灭、伪造证据或串供的可能；不讲真实姓名、住址，身份不明；有流窜作案、多次作案或结伙作案的重大嫌疑等情形，公安机关也有权对司机进行刑事拘留。
二、不构成刑事拘留的情形
责任轻微或无责：
- 如果司机在事故中仅负次要责任或无责任，那么通常不会构成交通肇事罪，因此也就不会被刑事拘留。此时，更多涉及的是民事赔偿问题。
- 例如，司机正常行驶时，行人突然违规横穿马路，虽然司机采取了紧急制动措施但仍不幸将行人撞死，但经认定行人负事故主要责任，司机只负次要责任，这种情况下司机通常不会被刑事拘留。
无特定拘留情形：
- 即使司机负事故全部或主要责任，但如果不存在上述可先行拘留的法定情形，公安机关也可能不会采取刑事拘留措施，而是选择取保候审、监视居住等其他强制措施。
受害人过错或不可抗力：
- 如果事故是由于受害人的过错、不可抗力或其他非司机原因造成的，那么司机通常不会承担刑事责任，自然也就不会被刑事拘留。
三、特殊情形说明
- 公车性质不影响责任判定：无论车辆是否为国家单位公车，司机在交通事故中的责任判定和是否构成交通肇事罪的标准都是一致的。公车的性质不会成为影响司机是否承担刑事拘留责任的因素。
四、建议与总结
- 严格遵守交通规则：司机应严格遵守交通规则，确保行车安全，以避免可能发生的法律责任。
- 积极配合调查：若不幸发生交通事故，司机应积极配合调查，明确责任划分，以便依法处理后续事宜。
- 寻求法律帮助：如果您或您身边的人遇到了相关问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供准确的法律意见和帮助。
综上所述，开国家单位公车致人死亡，司机是否承担刑事拘留责任需综合考虑事故的具体情况、责任划分以及是否存在违反交通管理法规的行为等因素。