结论：在您全责且已私了并支付赔偿，但对方不配合报交强险的情况下，您仍然可以凭借事故认定书和和解书向保险公司申请理赔，但具体流程和所需材料可能因保险公司而异，且可能面临一些挑战。

分析说明：

1. 事故认定书的作用：

   • 事故认定书是交警部门对交通事故责任划分的官方文件，具有法律效力。它明确了事故双方的责任比例，是保险公司理赔的重要依据。
   • 在您的情况下，事故认定书已经确认您为全责方，这为您向保险公司申请理赔提供了基础。

2. 和解书的法律效力：

   • 和解书是事故双方就赔偿事宜达成的协议，具有民事合同的性质。它记录了双方对赔偿金额、支付方式等事项的约定。
   • 和解书可以作为您已经履行赔偿义务的证明，有助于您在向保险公司申请理赔时证明您已经承担了相应的责任。

3. 对方不配合的影响及应对：

   • 对方不配合报交强险可能会给您的理赔流程带来一些不便，但并不意味着您无法获得理赔。
   • 您应首先尝试与对方沟通，解释报交强险的必要性，以及这对双方都有利（例如，可以确保对方的损失得到及时赔偿，同时也有助于您完成理赔流程）。
   • 如果沟通无果，您可以凭借事故认定书和和解书直接向保险公司申请理赔。保险公司可能会要求您提供一些额外的材料或信息，以核实事故情况和赔偿事宜。

4. 理赔流程及所需材料：

   • 具体的理赔流程可能因保险公司而异，但通常包括提交理赔申请、提供相关材料、等待保险公司审核、领取理赔款等步骤。
   • 除了事故认定书和和解书外，您可能还需要提供其他材料，如您的驾驶证、行驶证、保险单、对方的身份证明和联系方式（如果可能的话）、赔偿支付凭证等。

5. 可能面临的挑战及建议：

   • 保险公司可能会对您的理赔申请进行严格的审核，包括核实事故的真实性、赔偿金额的合理性等。因此，您应确保提供的所有材料都是真实、准确、完整的。
   • 如果保险公司拒绝理赔或提出异议，您可以与保险公司协商解决，或者寻求法律途径维护自己的权益。

行动建议：

• 尽快与保险公司联系：了解具体的理赔流程和所需材料，以便您能够及时准备并提交理赔申请。
• 保留好所有相关材料：包括事故认定书、和解书、赔偿支付凭证等，以备不时之需。
• 如果遇到困难或问题：及时咨询专业律师（如我），以便获得更具体的法律建议和帮助。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。