当劳动合同到期用人单位未续签，但劳动者仍在继续工作时，这种情况确实需要我们从法律角度进行细致分析，并给出相应的处理建议。以下是从劳动者和用人单位两个角度的详细解答：
对于劳动者
确认事实劳动关系：
- 即便劳动合同到期未续签，只要您继续为用人单位提供劳动，就视为双方存在事实劳动关系。这种关系同样受到法律的保护，您享有相应的劳动权益。
要求支付双倍工资：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与您订立书面劳动合同，您有权要求用人单位每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于劳动合同到期未续签的情况。因此，您可以与用人单位沟通，要求其支付这段时间的双倍工资。
协商续签劳动合同：
- 您应主动与用人单位沟通，提出续签劳动合同的请求。在协商过程中，明确工作岗位、工资待遇、工作时间等关键条款，并尽量保留好沟通记录，如邮件、短信等，以备不时之需。
若单位解除劳动关系的补偿：
- 如果用人单位在合同到期未续签且继续用工后单方面解除劳动关系，您有权根据具体情况要求经济补偿。若解除行为违法，您还可以要求支付赔偿金，标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿的计算依据是您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
对于用人单位
及时续签合同：
- 为避免合同到期未续签导致的法律风险，用人单位应在合同到期前与劳动者协商续签事宜。若已出现未续签但劳动者继续工作的情况，应尽快补签书面劳动合同，明确双方权利义务，以防范法律风险。
支付双倍工资的风险防范：
- 用人单位应意识到，合同到期未续签且劳动者继续工作超过一个月时，可能面临支付双倍工资的法律风险。因此，应及时采取措施，如与劳动者协商补签合同，以降低此风险。
合法解除劳动关系：
- 若用人单位不想继续与劳动者保持劳动关系，应在合同到期时及时终止，并按照法律规定支付相应的经济补偿。若继续用工后再解除，必须确保解除行为的合法性，避免因违法解除而承担赔偿责任。
综合建议
- 沟通与协商：无论是劳动者还是用人单位，都应首先尝试通过沟通与协商来解决问题。这有助于消除误会，达成一致意见，从而避免不必要的法律纠纷。
- 增强法律意识：双方都应增强法律意识，了解并遵守相关法律法规，以确保自身权益得到保障。劳动者可以主动学习劳动法相关知识，用人单位则应加强内部管理，确保劳动合同管理的规范性和及时性。
- 法律援助：在协商无果或权益受损时，劳动者可以寻求劳动仲裁委员会或法院的帮助，以维护自己的合法权益。用人单位也应积极应对法律纠纷，避免损失扩大。
总之，劳动合同到期未续签但劳动者继续工作的情况下，双方应依法处理续签或终止事宜，确保各自的合法权益得到保障。