结论：用人单位与劳动者合同到期后不续签却继续使用劳动者，这种情况用人单位涉嫌违法用工，劳动者可依法维权，具体可从以下方面分析和处理。

1. 法律关系认定
   • 从法律层面看，劳动合同到期后，若双方未续签书面劳动合同，但用人单位继续使用劳动者，此时双方形成事实劳动关系。不过，这种未续签合同继续用工的行为违反了《劳动合同法》规定。根据该法第十条，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
   • 用人单位不续签合同却继续用工，可能面临支付双倍工资差额的风险。依据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这里的“用工之日”在合同到期后续用的情况下，可理解为原合同到期日的次日。
2. 劳动者维权途径
   • 与用人单位协商：劳动者可以先与用人单位友好沟通，明确指出其不续签合同却继续用工的行为违法，要求用人单位尽快续签书面劳动合同，以保障自身合法权益。协商过程中，要注意保留相关沟通记录，如聊天记录、邮件等，以备后续需要。
   • 向劳动监察部门投诉：如果协商无果，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的用工行为进行监督检查，对违反劳动法律法规的行为责令改正。劳动者在投诉时，需提供能证明与用人单位存在事实劳动关系以及用人单位不续签合同却继续用工的相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录等。
   • 申请劳动仲裁：劳动者还可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁申请中，劳动者可以要求用人单位支付未续签合同期间的双倍工资差额、补签书面劳动合同等。仲裁过程中，劳动者要按照仲裁委员会的要求提交证据，积极参与仲裁庭审，以维护自己的权益。
3. 特殊情况说明
   • 如果用人单位在合同到期后提出不续签，但因劳动者原因（如劳动者患病在医疗期内、女职工在孕期产期哺乳期等）导致不能及时终止劳动关系，用人单位继续使用劳动者的，此时用人单位不能以合同到期为由终止劳动关系，而应按照相关规定继续履行用人单位的义务，直至相应情形消失。若用人单位在此期间违法终止劳动关系，劳动者可要求用人单位继续履行劳动合同或者支付赔偿金。

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