针对您提出的问题，首先明确结论：分居期间与他人发生关系并不构成违法或犯罪行为，但对方利用此事进行宣传和威胁则可能涉及侵犯您的名誉权、隐私权等民事权益，甚至可能触犯刑法中的侮辱罪、诽谤罪或敲诈勒索罪。以下是从不同角度的详细分析：

一、分居期间与他人发生关系的法律性质

1. 法律不禁止：分居期间，夫妻双方虽然仍然保持婚姻关系，但已经处于实际分离状态。在此期间，任何一方与他人发生关系，并不直接违反法律的规定。当然，这并不意味着鼓励或支持此类行为，而是从法律层面而言，它并不构成违法或犯罪。

2. 道德考量：尽管法律不禁止，但此类行为可能引发道德层面的争议。分居期间，夫妻双方仍应尊重彼此的婚姻关系，避免做出可能伤害对方感情或破坏婚姻关系的行为。

二、对方利用此事进行宣传和威胁的法律后果

1. 侵犯名誉权：如果对方公开宣传您与他人发生关系的事实，且该事实并不真实或存在夸大、歪曲的情况，那么对方的行为可能构成侵犯您的名誉权。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，您有权要求对方停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉，并可以要求赔偿损失。

2. 侵犯隐私权：即使您与他人发生关系的事实是真实的，但对方未经您的同意，擅自公开您的私人生活信息，也可能构成侵犯您的隐私权。同样，您有权依据《民法典》的相关规定，要求对方承担相应的法律责任。

3. 可能触犯刑法：

   • 侮辱罪、诽谤罪：如果对方以暴力或者其他方法公然侮辱您或者捏造事实诽谤您，情节严重的，可能构成侮辱罪或诽谤罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，您有权向公安机关报案，要求追究对方的刑事责任。
   • 敲诈勒索罪：如果对方以非法占有为目的，利用此事威胁您，索取财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，可能构成敲诈勒索罪。同样，您也有权向公安机关报案，要求追究对方的刑事责任。

三、应对建议

1. 收集证据：首先，您需要收集对方宣传和威胁您的相关证据，如聊天记录、录音、视频等。这些证据将有助于您后续维权时证明对方的行为。

2. 与对方沟通：在收集到足够证据后，您可以尝试与对方进行沟通，明确告知对方其行为已经侵犯了您的合法权益，要求对方立即停止侵害并道歉。如果对方愿意配合，那么问题可能得到妥善解决。

3. 寻求法律帮助：如果对方拒绝沟通或继续实施侵害行为，那么您应该及时寻求法律帮助。您可以向我咨询具体的法律策略，或者向公安机关报案，要求追究对方的法律责任。

最后，我想强调的是，面对此类问题，您应该保持冷静和理智，不要因为对方的威胁和宣传而感到恐慌或无助。法律是保护您合法权益的有力武器，只要您勇敢地站出来，依法维权，就一定能够维护自己的尊严和权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。