关于您提出的“私生子母亲不要监护人可以吗”这一问题，首先需要明确的是，父母是未成年子女的法定监护人，对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务，这一责任是法定的，不能随意放弃。不过，在特定情况下，监护权是可以发生变更或转移的。
一、法定监护责任
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有不可推卸的抚养、教育和保护义务。这是法律对父母角色的基本要求，也是保障未成年人健康成长的重要法律基础。因此，从法律层面讲，父母不能简单地“不要”监护人身份。
二、监护权的变更或转移
虽然父母不能随意放弃监护权，但在某些特定情况下，监护权是可以发生变更或转移的。这主要包括以下几种情形：
送养情况：如果父母因有特殊困难无力抚养子女，可以作为送养人将子女送养给符合条件的收养人。在这种情况下，未成年子女的监护权会依法转移至收养人，送养人应视为放弃了对未成年子女的监护权。但这一过程需要严格遵循法律规定的条件和程序。
监护人资格被撤销：如果监护人实施严重损害被监护人身心健康的行为，或者怠于履行监护职责导致被监护人处于危困状态等，法院可以根据有关个人或组织的申请，撤销其监护人资格，并按照最有利于被监护人的原则依法指定新的监护人。例如，在您提到的案例中，生母长期未履行监护职责，法院就依法撤销了其监护人资格。
三、实际建议
沟通协商：如果私生子的母亲确实因特殊原因无法履行监护职责，建议首先与对方进行沟通协商，看是否能够找到妥善的解决方案，如寻找其他合适的监护人或寻求社会救助等。
法律途径：如果沟通协商无果，且母亲确实存在怠于履行监护职责等情形，可以考虑通过法律途径申请撤销其监护人资格，并依法指定新的监护人。这一过程需要收集充分的证据，并遵循法律规定的程序。
关注未成年人利益：在整个过程中，应始终将未成年人的利益放在首位，确保其得到妥善的抚养、教育和保护。
综上所述，虽然父母不能随意放弃对未成年子女的监护权，但在特定情况下，监护权是可以发生变更或转移的。如果私生子的母亲确实无法履行监护职责，建议通过沟通协商或法律途径来寻求妥善的解决方案。