当劳动合同到期未续签，且您未签署离职协议时，关于如何申请经济补偿的问题，这主要取决于用人单位在续签合同过程中的具体行为。以下我将根据不同情况，为您详细解答：

一、用人单位维持或提高条件续订合同，您不同意续订

• 分析：根据《劳动合同法》的相关规定，如果用人单位已经维持或者提高了原劳动合同的约定条件来续订合同，但您出于个人原因不同意续订并主动辞职，那么在这种情况下，用人单位是不需要向您支付经济补偿的。

二、用人单位降低条件续订合同或未提出续订

• 分析：如果用人单位在续订合同时降低了原合同的约定条件，或者根本未提出续订合同，这构成了对原合同的实质变更或违法终止。在这种情况下，您有权依据《劳动合同法》的相关规定，主张被迫解除劳动关系，并要求用人单位支付经济补偿金。
• 经济补偿金的计算方式：
  1. 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资
  2. 工作年限的确定：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
  3. 月工资的定义：指您在劳动合同解除前十二个月的平均工资。如果您的月工资高于当地职工月平均工资的三倍，那么计算年限时最高不超过十二年。

三、特殊情形下的双倍补偿

• 分析：如果用人单位存在未及时足额支付劳动报酬、未缴纳社会保险等违法行为，您不仅可以依据《劳动合同法》要求支付经济补偿金，还可以在特定情况下要求加付赔偿金。但需要注意的是，这一条款主要适用于用人单位违法解除劳动合同的情形。对于合同到期未续签的情况，是否适用需结合具体的违法事实来判断。

申请经济补偿的流程

1. 与用人单位协商：首先，您可以尝试与用人单位进行协商，看是否能够就经济补偿问题达成一致。
2. 准备相关证据：如果协商无果，您需要准备相关的证据，如劳动合同、工资单、工作证明等，以证明您的工作年限和月工资水平。
3. 向劳动仲裁机构申请仲裁：如果用人单位拒绝支付经济补偿，您可以向当地的劳动仲裁机构申请仲裁，要求用人单位支付相应的经济补偿金。
4. 提起诉讼：如果对仲裁结果不满意，您还可以向法院提起诉讼，通过法律途径来维护自己的合法权益。

希望以上解答能够帮助您更好地了解如何申请经济补偿。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。