结论前置：打人后逃跑，是否构成刑事拘留（此处应理解为是否构成刑事犯罪并可能面临刑事处罚，因为“刑拘”通常指刑事拘留，是刑事诉讼中的一种强制措施，而是否刑拘需基于是否构成犯罪来判断），需根据打人行为造成的后果及行为人的主观故意来判断。可能构成故意伤害罪、寻衅滋事罪或过失致人重伤罪，具体罪名及刑罚需依据案件具体情况。若打人行为情节显著轻微，未造成轻伤以上后果，则不构成犯罪，但可能面临治安管理处罚。

一、可能构成的罪名及法律依据

1. 故意伤害罪

   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
   • 构成条件：若行为人主观上具有伤害他人身体健康的故意，客观上实施了殴打行为，并导致他人轻伤以上的伤害后果，之后逃跑的，即构成故意伤害罪。例如，因琐事与他人发生争执后，故意殴打对方致其轻伤或重伤，然后逃离现场。

2. 寻衅滋事罪

   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第二百九十三条，随意殴打他人，情节恶劣的，破坏社会秩序的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。纠集他人多次实施此类行为，严重破坏社会秩序的，处五年以上十年以下有期徒刑，可以并处罚金。
   • 构成条件：若行为人为寻求刺激、发泄情绪、逞强耍横等，无事生非，随意殴打他人，且达到情节恶劣的程度，即便逃跑也构成寻衅滋事罪。例如，在公共场所无故殴打他人，造成公共场所秩序严重混乱后逃离。

3. 过失致人重伤罪

   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第二百三十五条，过失伤害他人致人重伤的，处三年以下有期徒刑或者拘役。
   • 构成条件：若行为人应当预见自己的行为可能造成他人重伤的结果，因疏忽大意没有预见，或者已经预见而轻信能够避免，以致造成他人重伤，之后逃跑的，构成过失致人重伤罪。例如，因疏忽大意在推搡过程中导致他人摔倒重伤后逃离。

二、不构成犯罪的情况及法律后果

• 若打人行为情节显著轻微，危害不大，没有造成轻伤以上后果，则不构成犯罪。但此行为违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》。
• 法律依据：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。例如，因琐事与他人发生轻微肢体冲突，未造成明显伤害后逃离，但被警方查获的，将面临治安管理处罚。

三、逃跑行为的法律后果及建议

1. 不影响定罪：打人后逃跑并不影响对其行为的定罪。公安机关会立案侦查并追捕犯罪嫌疑人，一旦抓获，将依法追究其刑事责任。逃跑行为本身并不直接构成一个独立的罪名，但可能在量刑时被作为从重处罚的考量因素。
2. 增加法律风险：逃跑过程中可能造成其他严重后果，如交通肇事逃逸、妨害公务等，这些行为将使犯罪嫌疑人承担额外的法律责任。同时，逃跑也可能导致证据丢失或难以收集，从而影响案件的侦破和定罪量刑的准确性。
3. 建议：面对类似情况，建议保持冷静并积极配合公安机关的调查和处理。这不仅有助于案件的快速解决，也能在一定程度上减轻自己的法律责任。若已逃跑，应尽快向公安机关自首，争取从宽处理。

每个案件都有其独特性，具体的法律责任需要根据案件的具体情况来确定。如果你涉及此类问题，可以直接向我咨询，以便获取准确的法律意见和帮助，确保自身权益得到妥善维护。