业主不牵狗绳属于违法行为，可先通过沟通协商解决，若无效则可向相关部门投诉或通过法律途径维权。以下从不同角度为你详细分析：

从法律责任角度

1. 违反地方性法规：目前全国多地都出台了养犬管理条例，明确规定携带犬只外出时应当使用犬绳牵领。例如《北京市养犬管理规定》第十七条就规定，携犬出户时，应当对犬束犬链，由成年人牵领。如果业主不牵狗绳，就违反了这些地方性法规，可能会面临警告、罚款等行政处罚。
2. 可能承担民事赔偿责任：若因不牵狗绳导致犬只伤人，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十六条规定，违反管理规定，未对动物采取安全措施造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任。这意味着业主需要赔偿受害者的医疗费、误工费、护理费等各项损失。如果受害者构成伤残，还需要赔偿残疾赔偿金等费用。
3. 可能面临刑事责任（极端情况）：在极少数情况下，如果犬只伤人情节严重，构成犯罪的，业主还可能面临刑事处罚。例如，如果犬只将他人咬死，业主可能涉嫌过失致人死亡罪。

从解决途径角度

1. 沟通协商：可以先尝试与业主进行友好沟通，向其说明不牵狗绳的危害，包括可能对他人造成的伤害以及自己可能面临的法律责任。很多业主可能并没有意识到自己的行为不当，通过沟通可能会使其改正。
2. 向物业投诉：如果沟通无果，可以向小区物业反映情况。物业有管理小区秩序的职责，他们可以出面协调，对业主进行劝导和教育，要求其遵守养犬规定。
3. 向相关部门举报：若物业处理效果不佳，可以向当地的城管部门、公安部门等举报。这些部门有权对违反养犬管理规定的行为进行查处，对业主进行处罚。
4. 法律诉讼：如果因为业主不牵狗绳导致自己或他人受到损害，且无法通过协商、投诉等方式解决，可以考虑通过法律诉讼来维护自己的合法权益。可以向法院提起民事诉讼，要求业主承担赔偿责任。