事业单位工作人员多次私自出境的处罚需根据具体情节及单位性质，结合党纪、行政法规及单位内部规定综合判定，可能面临警告、记过、降级、撤职、开除等处分，严重者可能承担刑事责任。以下分情况详细说明：

一、若事业单位人员为中共党员，可能同时违反党纪与行政规定

1. 党纪处分
   根据《中国共产党纪律处分条例》第九十一条，违反有关规定取得外国国籍或获取国（境）外永久居留资格、长期居留许可的，给予撤销党内职务、留党察看或开除党籍处分；
   若未取得上述资格，但未经批准出入境且情节较重（如多次私自出境、拒不改正等），可能被给予警告或严重警告处分；情节严重的，给予撤销党内职务处分。

2. 行政处分
   根据《事业单位工作人员处分暂行规定》第十六条，违反国家规定，从事、参与营利性活动或兼任职务领取报酬的，或有其他违反廉洁从业纪律行为且情节较重的，可给予警告、记过、降低岗位等级或撤职处分；情节严重的，给予开除处分。
   若私自出境涉及逃往境外、非法滞留等行为，可能被认定为“情节严重”，直接面临开除。

二、若涉及国家安全或特殊岗位，处罚可能升级

1. 国家安全相关岗位
   若事业单位人员属于涉密岗位、关键岗位或涉及国家安全，私自出境可能违反《中华人民共和国保守国家秘密法》及《中华人民共和国国家安全法》。
   例如，未经批准擅自出境导致泄密的，可能被追究刑事责任（如为境外窃取、刺探、收买、非法提供国家秘密、情报罪）。

2. 特殊行业限制
   部分事业单位（如科研、医疗、教育等）可能因行业特殊性，对人员出入境有额外限制。若违反单位内部规定，除行政处分外，还可能面临行业禁入、职称降级等后果。

三、单位内部规定的影响

事业单位通常制定有《员工手册》或《出入境管理办法》，明确审批流程、出境次数限制及违规后果。
例如，某单位规定“每年出境不得超过2次，且需提前15日申请”，若员工一年内私自出境3次，可能被认定为“严重违反单位规章制度”，单位有权依据《劳动合同法》第三十九条解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

四、建议与风险提示

1. 立即停止违规行为：若已多次私自出境，应主动向单位报告并补办手续，避免“拒不改正”导致处罚加重。
   
2. 核查单位规定：确认自身岗位是否涉及特殊限制，避免因无知违规。
   
3. 法律后果评估：若涉及国家安全或泄密，建议尽快咨询律师，评估刑事风险。
   

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合具体情节提供详细法律意见。