事业单位人员因私自出境被开除，可先确认单位开除决定是否合法合规，若认为不合法可通过内部申诉、申请劳动仲裁或提起诉讼等途径维权。具体分析如下：

一、确认单位开除决定的合法性

1. 查看单位规章制度：

   • 事业单位通常会有内部规章制度，明确员工的行为规范和违纪处理措施。首先，需要查看这些规章制度中是否明确规定了私自出境属于严重违纪行为，以及相应的处理措施是否包括开除。
   • 如果规章制度中没有明确规定，或者规定与开除决定不符，那么单位的开除决定可能缺乏合法依据。

2. 了解出境管理规定：

   • 根据国家相关法律法规，事业单位人员出境可能需要经过单位批准或报备。如果私自出境违反了这些规定，单位有权根据内部规章制度进行处理。
   • 但同时，单位的处理措施也必须符合法律法规的规定，不能随意扩大处理范围或加重处理力度。

二、维权途径

1. 内部申诉：

   • 如果认为单位的开除决定不合法或不合理，可以先向单位内部的人事部门或纪检监察部门提出申诉，要求重新审查处理决定。
   • 在申诉过程中，可以提供相关证据和理由，说明自己的出境行为并未构成严重违纪，或者单位的处理措施过于严厉。

2. 申请劳动仲裁：

   • 如果内部申诉无果，可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
   • 在申请劳动仲裁时，需要提交仲裁申请书、相关证据材料等，证明单位的开除决定不合法或不合理。
   • 劳动争议仲裁委员会将依法进行审理，并作出裁决。

3. 提起诉讼：

   • 如果对劳动仲裁裁决不服，还可以向人民法院提起诉讼。
   • 在诉讼过程中，需要提交起诉状、相关证据材料等，由法院进行审理并作出判决。
   • 如果法院认为单位的开除决定不合法或不合理，可能会判决撤销开除决定或要求单位给予相应的赔偿。

三、注意事项

1. 保留证据：

   • 在整个维权过程中，务必保留好相关证据材料，如出境记录、单位规章制度、申诉材料、仲裁申请书、起诉状等。
   • 这些证据材料将有助于证明自己的观点和主张，提高维权成功的几率。

2. 及时行动：

   • 如果认为单位的开除决定不合法或不合理，应及时采取行动进行维权。
   • 拖延时间可能会导致证据丢失或维权难度增加。

3. 寻求专业帮助：

   • 如果对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助。
   • 律师将能够提供专业的法律意见和指导，帮助更好地维护自己的合法权益。