针对您提出的“煤矿工人在井下工作受伤手上中指被截肢应该怎么处理”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，对于煤矿工人在井下工作受伤导致手上中指被截肢的情况，这明显属于工伤事故。在处理此类事故时，劳动者（即受伤的煤矿工人）及其家属应当注意以下几个关键步骤：

1. 保存相关证据：

   • 劳动者应尽快收集并保存与用人单位签订的劳动合同书、工资收入证明、用人单位发放的上岗证、工作服等，这些证据能够证明劳动者与用人单位之间存在劳动关系，是后续认定工伤的重要前提。

2. 申请工伤认定：

   • 用人单位应在事故发生之日起30日内，向企业注册地的劳动部门（如市人社局工伤保险处）提出工伤认定申请。
   • 如果用人单位未在规定时间内申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可以在事故伤害发生之日起1年内，自行向劳动部门提出工伤认定申请。
   • 工伤认定的流程包括提交申请、材料审核、调查核实以及作出认定决定等步骤，通常会在受理申请之日起60日内完成。

3. 进行劳动能力鉴定：

   • 在工伤认定完成后，劳动者应到劳动能力鉴定委员会进行劳动能力鉴定，以确定其伤残等级和后续的康复需求。

4. 办理工伤保险待遇领取手续：

   • 根据工伤认定和劳动能力鉴定的结果，劳动者或其家属应至参保地社保中心办理工伤保险待遇领取手续。
   • 工伤待遇通常包括一次性伤残补助金、一次性就业补助金、一次性医疗补助金以及停工留薪期间的工资等。

5. 与公司协商赔偿：

   • 在完成上述步骤后，劳动者或其家属应与公司进行协商，要求公司根据工伤认定和劳动能力鉴定的结果做出相应的赔偿。
   • 如果公司已为劳动者缴纳工伤保险，则公司只需承担工伤期间的一次性工伤就业补助金，剩余的一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金等由社保部门承担。
   • 如果公司未为劳动者缴纳社保，则所有相关费用应由公司自行承担。

在整个处理过程中，劳动者及其家属应保持冷静，积极配合相关部门的工作，并确保所有步骤都按照法律法规的要求进行。同时，如果遇到任何困难或问题，可以及时向当地的劳动部门或法律援助机构寻求帮助。希望这些信息能够对您有所帮助。