结论：在您描述的情况下，如果双方已经私下协商解决且对方未报警，之后对方再报警，公安机关是否会处理取决于多种因素，但一般情况下，若案件未超过追诉时效且证据确实充分，公安机关仍可能依法处理。不过，私下协商解决的情况可能会对公安机关的处理产生一定影响。

详细分析：

1. 追诉时效：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第八十七条的规定，犯罪经过下列期限不再追诉：法定最高刑为不满五年有期徒刑的，经过五年；法定最高刑为五年以上不满十年有期徒刑的，经过十年；法定最高刑为十年以上有期徒刑的，经过十五年；法定最高刑为无期徒刑、死刑的，经过二十年。如果二十年以后认为必须追诉的，须报请最高人民检察院核准。
   • 在您的情况下，盗窃刮刮乐价值1200元，若构成盗窃罪（具体需根据当地盗窃罪的立案标准判断），通常法定刑在三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。因此，追诉时效为五年。若案件未超过此期限，公安机关仍有可能依法处理。

2. 证据情况：

   • 公安机关处理刑事案件需要确实充分的证据。如果双方私下协商解决时，没有保留相关证据（如协商记录、转账记录等），或者证据已经灭失，那么公安机关在调查时可能会面临困难。
   • 然而，如果对方在报警时能够提供足够的证据证明盗窃行为的发生，如监控录像、证人证言等，公安机关仍有可能依法立案侦查。

3. 私下协商的影响：

   • 私下协商解决并不意味着案件就此了结。如果对方在协商后反悔或者认为协商结果不公平，仍然有权向公安机关报案。
   • 私下协商的情况可能会成为公安机关调查时的参考因素之一，但不会直接决定案件的处理结果。公安机关会根据法律规定和证据情况来依法作出处理决定。

4. 公安机关的处理流程：

   • 如果对方报警，公安机关会首先进行初步调查，核实案件情况。
   • 如果认为有犯罪事实发生且需要追究刑事责任，公安机关会依法立案侦查。
   • 在侦查过程中，公安机关会收集证据、询问嫌疑人、被害人等，并根据调查结果决定是否移送检察机关审查起诉。

建议：

• 如果您担心此事可能引发的法律后果，建议您保留好与对方私下协商的相关证据，以备不时之需。
• 如果对方确实报警且公安机关联系您进行调查，您应积极配合调查工作，如实陈述事实情况。
• 如需进一步法律帮助或咨询，请随时向我提问，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。