结论：在您母亲作为重婚罪嫌疑人且家中有两个未成年孩子需要照顾的情况下，在符合法定条件时，拘留期间是可以申请取保候审的。
一、取保候审的法律依据与条件
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定，人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
- 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
- 可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
- 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
- 羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
二、针对您母亲情况的特别分析
家庭情况考量：
- 您母亲作为两个未成年孩子的母亲，其被拘留无疑会对孩子的抚养和教育产生重大影响。这一家庭情况在申请取保候审时，可以作为考虑其社会危险性较低的一个因素。
- 如果能够证明您母亲取保候审后不会逃避侦查、起诉和审判，且能够确保孩子的正常生活和教育，那么这一家庭情况将增加其取保候审的可能性。
社会危险性评估：
- 取保候审的关键在于评估犯罪嫌疑人或被告人的社会危险性。对于重婚罪而言，如果案件事实清楚，证据确凿，且您母亲没有逃避法律追究的意图，那么其社会危险性相对较低。
- 此外，如果能够提供担保人或缴纳保证金，并承诺遵守取保候审期间的各项规定，也将有助于降低社会危险性评估。
三、申请取保候审的程序与建议
申请程序：
- 取保候审的申请应由犯罪嫌疑人或其法定代理人、近亲属（如配偶、父母、子女等）向办案机关（如公安机关、人民检察院或人民法院）提出。
- 申请时需提交取保候审申请书，并附上相关证据材料，如家庭情况证明、担保人身份证明及担保承诺书等。
建议：
- 及时咨询专业律师：在申请取保候审前，建议咨询专业律师，了解具体案件情况和法律程序，以便更好地准备申请材料和应对可能的法律挑战。
- 积极配合办案机关：在申请过程中，应积极配合办案机关的调查和审查工作，如实提供相关信息和证据材料。
- 关注孩子抚养问题：在申请取保候审的同时，也应关注孩子的抚养和教育问题，确保孩子在母亲被拘留期间能够得到妥善的照顾和安排。
四、可能面临的法律后果
- 如果取保候审申请被批准，您母亲将在取保候审期间遵守相关规定，如不得离开指定居住地、不得干扰证人作证等。违反规定可能导致取保候审被撤销，并面临更严厉的法律措施。
- 如果取保候审申请未被批准，您母亲将继续被羁押在看守所，等待进一步的法律程序。
最后，我理解您作为家庭成员的担忧和焦虑。在面对这样的法律问题时，保持冷静和理性至关重要。如果您有任何进一步的疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。