结论：因工伤仲裁不服上诉后，若一审未支持仲裁请求，您仍然可以因为其他与劳动关系相关的事项申请仲裁，但需注意仲裁时效和一事不再理原则的限制。

分析说明：

1. 仲裁时效：

   • 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二十七条，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，如果您因其他事项申请仲裁，需确保该事项在仲裁时效期间内。

2. 一事不再理原则：

   • 一事不再理原则是指对同一案件，已经由有权机关作出处理决定，或者正在处理之中的，当事人不得就同一事实和理由，向人民法院再次提起诉讼或申请仲裁。但这一原则主要针对的是同一事实和理由。如果您因工伤仲裁不服上诉后，一审未支持仲裁请求，而您现在要申请仲裁的事项与之前的工伤仲裁事项并非同一事实和理由（例如，您现在要申请仲裁的是关于工资支付、加班费、经济补偿等其他劳动争议事项），则不受一事不再理原则的限制。

3. 其他劳动争议事项：

   • 除了工伤争议外，劳动争议还包括因确认劳动关系发生的争议、因订立、履行、变更、解除和终止劳动合同发生的争议、因除名、辞退和辞职、离职发生的争议、因工作时间、休息休假、社会保险、福利、培训以及劳动保护发生的争议、因劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或者赔偿金等发生的争议等。如果您因这些事项中的任何一项与用人单位发生争议，且该争议未超过仲裁时效，您均有权申请仲裁。

行动建议：

• 确认仲裁事项：首先，您需要明确您要申请仲裁的具体事项是什么，以及该事项是否属于劳动争议的范畴。
• 检查仲裁时效：其次，您需要检查该事项是否在仲裁时效期间内，以确保您的仲裁申请不会被因超过时效而被驳回。
• 准备仲裁材料：在确认仲裁事项和仲裁时效后，您需要准备相关的仲裁材料，包括仲裁申请书、证据材料等，并按照当地劳动争议仲裁委员会的要求提交申请。

后续思考依据：

• 如果您在申请仲裁过程中遇到任何问题或疑问，或者需要进一步的法律帮助和指导，您可以随时向我咨询。我将根据您的具体情况和需求，为您提供专业、全面、准确的法律建议和帮助。