农村宅基地外倾倒建筑垃圾的管理责任，主要取决于倾倒行为的具体位置和性质，一般由乡镇人民政府或县级人民政府的环境卫生主管部门负责管理。以下从不同角度进行分析：
若倾倒行为发生在宅基地外的公共区域：
- 根据《中华人民共和国固体废物污染环境防治法》的相关规定，任何单位和个人都应当采取措施，防止或者减少固体废物对环境的污染。对于在公共区域倾倒建筑垃圾的行为，通常由乡镇人民政府或者县级人民政府环境卫生主管部门负责管理和处罚。这些部门有权对倾倒行为进行调查，并要求责任人清理垃圾，恢复环境原状，甚至可能处以罚款。
若倾倒行为涉及非法占用土地：
- 如果倾倒建筑垃圾的行为同时构成了非法占用土地，那么根据《中华人民共和国土地管理法》的规定，由县级以上人民政府自然资源主管部门负责查处。这种情况下，除了清理垃圾外，还可能面临土地复垦、罚款等法律责任。
若倾倒行为对他人造成损害：
- 如果倾倒的建筑垃圾对他人的人身或财产造成了损害，那么根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，倾倒者可能需要承担民事赔偿责任。这包括赔偿因垃圾倾倒导致的直接经济损失，以及可能的精神损害赔偿等。
建议与行动指南：
- 发现倾倒行为：如果您发现有人在农村宅基地外倾倒建筑垃圾，首先可以尝试与倾倒者沟通，要求其停止倾倒并清理垃圾。
- 向相关部门举报：如果沟通无果，或者倾倒行为已经造成了环境污染或土地破坏，您可以向当地的乡镇人民政府、县级人民政府环境卫生主管部门或自然资源主管部门举报。
- 保留证据：在举报或采取其他法律行动前，请确保保留好相关证据，如照片、视频、证人证言等，以便在需要时提供证明。
可能面临的法律后果：
- 对于倾倒者来说，如果其行为被认定为违法，可能会面临罚款、清理垃圾、恢复环境原状等法律责任。如果行为严重，还可能构成犯罪，需要承担刑事责任。
如果您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供有针对性的法律建议。