结论：儿子账号上的钱，老公的私生子在特定条件下是可以继承的。下面我将从多个角度为您详细分析这个问题。
一、继承权的法律基础
首先，我们需要明确的是，继承权是基于法律规定或遗嘱而产生的，它决定了谁有权继承死者的财产。在婚姻家庭领域，继承权通常与血缘关系或婚姻关系紧密相关。
二、私生子的法律地位
私生子，即非婚生子女，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女与婚生子女享有同等的法律地位。这意味着，在继承权方面，私生子与婚生子女享有相同的权利。他们都有权继承父母的遗产，除非父母通过遗嘱或其他方式明确排除了他们的继承权。
三、儿子账号上的钱的继承问题
如果儿子先于老公去世：
- 在这种情况下，儿子账号上的钱将作为儿子的遗产进行继承。
- 根据继承法的规定，儿子的遗产将由其配偶、子女、父母等第一顺序继承人继承。
- 如果老公是儿子的父亲，且儿子没有留下遗嘱排除老公的继承权，那么老公作为第一顺序继承人之一，有权继承儿子的一部分遗产。
- 同时，如果老公有私生子，且私生子没有被儿子通过遗嘱排除继承权，那么私生子作为老公的非婚生子女，也有权继承老公从儿子那里继承来的部分遗产（但这实际上是一个间接继承的过程，且需要满足多个条件）。不过，更直接的情况是，如果儿子去世时未留遗嘱，且私生子能证明与儿子的父子/女关系（尽管这在实践中可能较为复杂且不常见），理论上私生子也可能直接主张对儿子遗产的继承权（但这通常需要额外的法律程序和证据支持）。但更常见且直接的是，私生子会继承其生父（即老公）的遗产，如果老公从儿子那里继承了财产，这部分财产在老公去世时，私生子有权继承。
- 更直接且常见的情形：我们考虑的是老公去世后，其遗产（包括可能从儿子那里继承来的财产，如果儿子先去世且未留遗嘱排除老公）的继承问题。在这种情况下，私生子作为老公的非婚生子女，有权继承老公的遗产。
如果老公先于儿子去世：
- 老公去世后，其遗产（包括可能包括的、但尚未分割的、与儿子共有的财产中属于老公的部分）将由其第一顺序继承人继承，包括配偶、子女（包括婚生子女和非婚生子女）。
- 如果儿子账号上的钱属于儿子的个人财产（即不是与老公的共有财产），那么这部分钱在儿子去世时，将作为儿子的遗产进行继承，私生子作为老公的非婚生子女，并不直接继承儿子账号上的钱，除非儿子留下遗嘱指定私生子为继承人。
- 但如果儿子账号上的钱中，有部分属于老公与儿子的共有财产（如共同存款），且老公去世时未留遗嘱，那么老公的那部分共有财产将作为老公的遗产，由包括私生子在内的第一顺序继承人继承。
四、实际操作中的考虑
- 证据收集：在涉及继承权的问题时，证据的收集至关重要。私生子需要证明其与老公的血缘关系，以及可能需要的、与儿子之间的法律关系（在特定情况下）。
- 遗嘱的影响：如果死者留下了遗嘱，那么遗嘱将优先于法定继承顺序进行遗产分配。因此，遗嘱的内容将直接影响继承权的行使。
- 法律程序：继承权的行使通常需要通过法律程序进行，包括遗产的认定、继承人的确定、遗产的分割等。在这个过程中，可能需要法院的介入和裁决。
五、建议
- 如果您面临类似的继承权问题，建议首先收集相关证据，包括血缘关系证明、财产证明等。
- 其次，咨询专业律师，了解具体的法律程序和可能的结果。
- 最后，根据律师的建议和法律程序，行使您的继承权或维护您的合法权益。
如果您有任何进一步的疑问或需要更具体的法律建议，请随时向我咨询。