结论：原配自己挣的工资名下的存款，老公的私生子在一般情况下是无权直接继承的，但在特定条件下可能享有继承权。以下是对此问题的详细分析：
一、私生子在法律上的地位
私生子，即非婚生子女，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利。这意味着，在法律上，私生子与婚生子女在继承权方面没有本质的区别。
二、继承权的确定
法定继承：
- 在没有遗嘱的情况下，遗产将按照法定继承的顺序进行分配。根据《民法典》的规定，第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。这里的“子女”包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
- 因此，如果原配去世，且没有留下遗嘱，那么其遗产（包括工资名下的存款）将由其配偶、子女（包括私生子）和父母共同继承。但在此情况下，私生子并非直接继承原配的存款，而是作为第一顺序继承人之一，与其他继承人共同分配遗产。若原配仍在世，则其存款属于个人财产，不存在继承问题。
遗嘱继承：
- 如果原配留下了遗嘱，并且明确指定了遗产的分配方式，那么遗产将按照遗嘱进行分配。
- 在这种情况下，如果遗嘱中没有提及私生子，或者明确排除了私生子的继承权，那么私生子将无法继承原配的遗产。
三、特定条件下的继承权
- 虽然私生子在一般情况下不能直接继承原配的存款（除非原配去世且未留遗嘱，且私生子作为第一顺序继承人参与分配），但如果私生子与原配之间形成了实际的扶养关系（例如，私生子长期由原配抚养），那么在某些特殊情况下，私生子可能基于公平原则或道德考量获得一定的财产权益。不过，这种情况并非基于继承权，而是可能基于其他法律原则或道德考量。
- 另外，若问题中的“继承”实际想问的是私生子能否继承老公的财产：由于私生子与婚生子女享有同等权利，在老公去世且未留遗嘱的情况下，私生子有权作为第一顺序继承人继承老公的遗产（包括老公个人财产及夫妻共同财产中属于老公的部分）；若老公留有遗嘱，则需按遗嘱内容确定私生子能否继承。
四、建议与注意事项
- 遗嘱的重要性：为了避免未来可能出现的继承纠纷，建议原配考虑制定遗嘱，明确指定遗产的分配方式。
- 家庭关系的和谐：无论遗产如何分配，家庭关系的和谐都是非常重要的。在处理遗产问题时，建议家庭成员之间保持沟通，尽量通过协商达成一致意见。
- 法律咨询：如果涉及复杂的遗产分配问题，或者家庭成员之间存在争议，建议寻求专业律师的帮助，以确保遗产分配的合法性和公平性。
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