结论：私生子（非婚生子女）与原配在遗产继承中均享有法定权利，但具体能否继承原配的遗产以及继承份额，需结合实际情况和法律规定综合判断。以下从不同角度为您详细分析：

一、法定继承权与顺序

1. 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产按照下列顺序继承：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。其中，“子女”包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。

2. 继承顺序：在继承开始后，首先由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承。若不存在第一顺序继承人，则由第二顺序继承人继承。因此，私生子作为第一顺序继承人，与原配在继承顺序上是平等的。

二、私生子能否继承原配的遗产

1. 一般情况：私生子作为非婚生子女，与婚生子女享有同等的法律地位，包括继承权。然而，这并不意味着私生子可以直接继承原配的遗产。因为原配的遗产，首先属于原配与被继承人（如私生子的生父）的夫妻共同财产（如果存在的话）中属于原配的部分，以及原配个人的其他财产。私生子只能继承被继承人（如生父）的遗产中属于其应得的部分，而不能直接继承原配的遗产，除非原配通过遗嘱指定私生子为继承人。

2. 特殊情况：如果原配去世后，被继承人（如生父）也去世，且被继承人未留下遗嘱，那么私生子作为第一顺序继承人，有权继承被继承人的遗产。这部分遗产中，可能包含原配与被继承人夫妻共同财产中属于被继承人的部分（在原配去世后未进行分割的情况下）。但严格来说，这并不是私生子直接继承原配的遗产，而是继承被继承人的遗产。

三、继承份额的分配原则

1. 均等分配原则：在没有特殊情况时，同一顺序继承人应均等分配遗产。例如，若被继承人留下100万元遗产，且仅由原配和私生子两位第一顺序继承人继承，则通常各分得50万元。

2. 特殊情况下的不均等分配：

   • 对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人（如未成年且生活困难的私生子），应予以照顾，适当多分。
   • 对被继承人尽了主要扶养义务或与被继承人共同生活的继承人（如长期照顾被继承人的原配），可以多分。
   • 有扶养能力和条件但不尽扶养义务的继承人，应不分或少分。
   • 继承人之间协商同意的，也可以不均等分配。

四、遗嘱继承的情况

1. 尊重遗嘱意愿：若被继承人立有有效遗嘱，明确指定了遗产的分配方式，则应严格按照遗嘱执行。遗嘱可以指定由特定继承人继承全部或部分遗产，包括私生子、原配或其他法定继承人以外的人。

2. 遗嘱的有效性要求：遗嘱必须是被继承人真实意思的表示，无欺诈、胁迫等情形；遗嘱形式须符合法律规定，如自书遗嘱需亲笔书写、签名并注明年月日。若遗嘱无效，则遗产按法定继承规则分配。

五、实际操作建议

1. 明确遗产范围：在处理遗产继承问题时，首先需确定遗产的范围，包括被继承人生前的个人财产及夫妻共同财产中属于被继承人的部分。

2. 协商或诉讼解决：若继承人之间对遗产分配存在争议，可以尝试通过协商解决；协商不成的，可以向人民法院提起诉讼，由法院根据法律规定和实际情况作出判决。

总结与建议：私生子与原配在遗产继承中均享有法定权利，但具体能否继承原配的遗产以及继承份额，需结合实际情况和法律规定综合判断。在处理此类问题时，建议继承人之间保持沟通、协商解决；若无法协商一致，可以寻求法律帮助，通过诉讼途径维护自己的合法权益。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。