当涉嫌犯罪的案件被驳回起诉，且公安机关认为不构成犯罪时，当事人可以采取以下救济措施：
了解驳回起诉的具体原因：
- 首先，当事人应当向检察机关或公安机关详细了解驳回起诉的具体理由和依据。这有助于当事人明确自己的案件为何不被认定为犯罪，以及是否存在可能的法律漏洞或程序问题。
申请复议或申诉：
- 复议：如果当事人对公安机关的不立案决定不服，可以向作出决定的公安机关申请复议。复议机关应当在收到复议申请后的一定期限内（如七日）作出决定，并书面通知申请人。
- 申诉：如果复议结果仍然维持原决定，或者当事人直接对检察机关的驳回起诉决定不服，可以向上一级检察机关申诉。申诉是当事人维护自己合法权益的重要途径，上级检察机关会重新审查案件，并作出是否支持申诉的决定。
寻求法律帮助：
- 在整个过程中，当事人有权寻求专业律师的帮助。律师可以协助当事人分析案件情况，提供法律意见，并代表当事人与公安机关、检察机关进行沟通。律师的专业知识和经验对于当事人维护自己的合法权益至关重要。
关注案件后续进展：
- 即使案件被驳回起诉，当事人也应保持关注，了解案件是否有新的证据或情况出现。如果发现有新的证据或情况可能改变案件的性质，当事人可以及时向公安机关或检察机关提供，并申请重新审查案件。
考虑其他法律途径：
- 如果当事人认为自己的合法权益受到了侵害，且无法通过刑事途径得到救济，还可以考虑通过民事诉讼等法律途径来维护自己的权益。例如，如果当事人因他人的行为遭受了经济损失，可以向法院提起民事诉讼，要求赔偿损失。
法律背景与建议：
- 在刑事案件中，驳回起诉和公安机关认为不构成犯罪是两种不同的法律结论，但都意味着案件在刑事司法程序中遇到了障碍。当事人应当理性对待这些结果，不要盲目悲观或愤怒，而是应当积极寻求法律帮助，了解自己的权利和义务。
- 在申请复议或申诉时，当事人应当准备充分的证据和材料，以支持自己的主张。同时，当事人也应当了解复议或申诉的程序和期限，确保自己的申请能够得到及时处理。
- 如果当事人对法律程序不熟悉或感到困惑，建议及时咨询专业律师。律师可以根据当事人的具体情况和案件事实，提供个性化的法律建议和帮助。
可能面临的法律后果：
- 如果当事人选择不采取任何救济措施，那么案件可能会就此终结，当事人将无法通过刑事途径追究他人的责任。
- 如果当事人选择申请复议或申诉，但未能成功改变原决定，那么案件仍然可能无法进入刑事司法程序。然而，这并不意味着当事人无法通过其他法律途径来维护自己的权益。
- 如果当事人在复议或申诉过程中提供了新的证据或情况，且这些证据或情况足以改变案件的性质，那么案件可能会被重新审查，并有可能进入刑事司法程序。
总之，当涉嫌犯罪的案件被驳回起诉且公安机关认为不构成犯罪时，当事人应当保持冷静和理性，积极寻求法律帮助，了解自己的权利和义务，并根据自己的具体情况选择合适的救济措施。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。