结论：在狗打架导致您被自己家狗摔倒的情况下，能否追究对方责任，需根据具体情况分析，主要取决于对方是否存在过错以及该过错与您摔倒之间是否存在因果关系。以下从不同角度进行详细分析：
一、对方存在过错且过错与您摔倒存在因果关系
过错认定：
- 如果对方在遛狗时未采取必要的安全措施，如未拴狗绳、未给狗戴嘴套等，导致其狗与您家的狗发生冲突，进而使您摔倒，那么对方可能存在过错。
- 如果对方故意挑衅或驱使其狗攻击您家的狗，导致您摔倒，那么对方显然存在过错。
因果关系：
- 需要证明您摔倒的直接原因是对方狗的攻击行为或对方狗与您家狗的冲突行为。
- 如果能够证明这一点，那么对方的行为与您摔倒之间存在因果关系。
责任追究：
- 在这种情况下，您可以根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，要求对方承担侵权责任。
- 侵权责任可能包括赔偿您的医疗费、误工费、护理费等因摔倒而产生的合理费用。
二、对方不存在过错或过错与您摔倒不存在因果关系
无过错情况：
- 如果对方在遛狗时已经采取了必要的安全措施，且其狗并未主动攻击您家的狗，而是您家的狗主动挑衅或攻击对方狗，导致您摔倒，那么对方可能不存在过错。
- 如果您摔倒的原因完全是由于您自己或您家狗的行为导致的，与对方狗的行为无关，那么对方也不存在过错。
无因果关系情况：
- 即使对方存在一定过错，但如果该过错与您摔倒之间不存在因果关系，例如您摔倒是因为自己不小心或地面湿滑等原因导致的，那么对方也不需要承担责任。
责任免除：
- 在这种情况下，您无法追究对方的责任，因为对方的行为并未构成对您权益的侵害。
三、特殊情况考虑
动物饲养人或管理人的责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，动物饲养人或管理人应当对其饲养的动物造成的损害承担责任。但这一责任通常限于动物直接造成的损害，如咬伤、抓伤等。
- 在您的情况下，如果摔倒并非直接由对方狗造成，而是由于您家狗在冲突中的行为导致的，那么对方可能不直接承担您摔倒的责任。但如果您能证明对方狗的行为是导致您家狗行为异常或失控的原因，那么对方仍可能需承担一定责任。
举证责任：
- 在追究对方责任时，您需要承担举证责任，即证明对方存在过错、该过错与您摔倒之间存在因果关系以及您因此遭受了损失。
- 这可能需要您提供现场照片、视频、证人证言等证据来支持您的主张。
建议：
- 在发生此类事件后，您应首先确保自己的安全，并及时就医治疗。
- 同时，尽量收集相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以便在后续追究责任时提供有力支持。
- 如果对方愿意协商解决，您可以尝试与对方进行沟通协商，寻求合理的赔偿方案。
- 如果协商无果或对方拒绝承担责任，您可以考虑通过法律途径维护自己的权益，如向法院提起诉讼等。
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