结论：将老板价值1200元的空调私自卖掉，这一行为是否会被立案，主要取决于该行为是否构成犯罪以及犯罪的性质和情节。若构成盗窃罪，且达到刑事立案标准，则会被立案；若不构成犯罪或未达到刑事立案标准，则可能面临治安管理处罚或民事赔偿。

详细分析：

1. 刑事立案角度：

   • 盗窃罪的构成：根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，盗窃罪是指以非法占有为目的，秘密窃取公私财物数额较大或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃公私财物的行为。若将老板的空调私自卖掉，且主观上具有非法占有的目的，客观上实施了秘密窃取并出售的行为，且空调价值达到当地盗窃罪的立案标准（一般为一千元至三千元以上，具体标准因地区而异），则可能构成盗窃罪。
   • 立案标准：一旦构成盗窃罪，且达到刑事立案标准，公安机关就会依法立案侦查，追究犯罪嫌疑人的刑事责任。

2. 治安管理处罚角度：

   • 不构成犯罪的情况：如果私自卖掉老板空调的行为，虽然具有非法占有的目的，但空调价值未达到盗窃罪的立案标准，或者情节显著轻微危害不大，不认为是犯罪的，那么可能不会构成刑事犯罪。
   • 治安管理处罚：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，对于盗窃、诈骗、哄抢、抢夺、敲诈勒索或者故意损毁公私财物的行为，尚不够刑事处罚的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款。因此，即使不构成犯罪，也可能面临治安管理处罚。

3. 民事赔偿角度：

   • 民事责任：无论是否构成犯罪或受到治安管理处罚，私自卖掉老板空调的行为都侵犯了老板的财产权，应当承担民事赔偿责任。老板有权要求赔偿空调的价值以及因行为导致的其他损失。

建议：

• 立即停止行为：如果尚未实施私自卖掉老板空调的行为，应立即停止，避免触犯法律。
• 主动赔偿：如果已经实施了该行为，应主动向老板承认错误，并赔偿空调的价值以及因行为导致的其他损失，以减轻可能的法律责任。
• 咨询法律专业人士：如果对此事的处理存在疑问或担忧，建议咨询法律专业人士，如律师，以获取更具体的法律建议和指导。

如有任何法律问题，特别是合同纠纷或劳动工伤（工资福利）方面的问题，可以直接向我咨询。