结论前置：公司出具同意外出劳务证明后，员工与其他公司签署劳务合同，在符合一定条件下可以认定劳务关系，但具体是否构成劳务关系还需结合实际情况和法律规定综合判断。以下从不同角度进行分析：

一、劳务关系的认定标准

劳务关系是指劳动者与用工者根据口头或书面约定，由劳动者向用工者提供一次性的或者是特定的劳动服务，用工者依约向劳动者支付劳务报酬的一种有偿服务的法律关系。认定劳务关系，通常需要考虑以下几个要素：

1. 双方当事人的意思表示：即双方是否有建立劳务关系的合意，这通常体现在劳务合同或相关协议中。
2. 劳务内容的特定性：劳务关系通常针对的是特定的、一次性的或临时性的工作任务。
3. 报酬支付方式：劳务关系中，报酬通常是根据劳务的完成情况或工作量来支付的，而非按月或按年等固定周期支付。
4. 管理与被管理关系的缺失：与劳动关系不同，劳务关系中，用工者通常不对劳动者进行日常管理，劳动者在完成劳务任务方面享有较大的自主权。

二、公司出具同意外出劳务证明的影响

公司出具同意外出劳务证明，表明公司允许员工在不影响本职工作的前提下，与其他公司建立劳务关系。这一证明本身并不直接决定员工与其他公司之间是否构成劳务关系，但它为员工与其他公司签署劳务合同提供了前提条件或便利。

三、员工与其他公司签署劳务合同的情况分析

1. 合同内容符合劳务关系特征：如果员工与其他公司签署的劳务合同内容符合上述劳务关系的认定标准，如双方有建立劳务关系的合意、劳务内容特定、报酬支付方式符合劳务关系特征、且不存在管理与被管理关系等，那么可以认定双方之间存在劳务关系。
2. 合同内容不符合劳务关系特征：如果合同内容更接近于劳动关系，如规定了固定的工作时间、工作地点、工资支付周期等，且用工者对劳动者进行了日常管理，那么可能更倾向于认定为劳动关系而非劳务关系。

四、法律建议

1. 明确合同内容：在签署劳务合同时，双方应明确合同内容，确保符合劳务关系的特征，以避免后续纠纷。
2. 保留相关证据：双方应保留好与劳务关系相关的证据，如劳务合同、工作记录、报酬支付凭证等，以便在发生纠纷时能够证明自己的主张。
3. 咨询专业律师：如果对于劳务关系的认定存在疑问或纠纷，建议及时咨询专业律师，以便获得更准确的法律意见和帮助。

总结来说，公司出具同意外出劳务证明后，员工与其他公司签署劳务合同，在合同内容符合劳务关系特征的情况下，可以认定双方之间存在劳务关系。但具体是否构成劳务关系还需结合实际情况和法律规定综合判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。