结论前置：

1. 母亲的遗产：父亲作为继承人之一，无权随意处理母亲的遗产，除非他是唯一的继承人或得到其他继承人的同意。遗产的处理需遵循法定继承或遗嘱继承的原则。
2. 母亲的抚恤金：抚恤金通常不属于遗产范畴，而是对死者家属的经济补助和精神慰藉，其分配需根据具体情况和法律规定进行，父亲同样无权随意处理。

详细解释：

母亲的遗产处理

一、遗产的法定继承

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产的继承首先遵循法定继承的原则。如果母亲未留下遗嘱，那么她的遗产将按照法定继承的顺序和比例进行分配。通常，配偶、子女、父母是第一顺序的继承人。在这种情况下，父亲作为配偶之一，有权继承母亲的遗产，但他无权单独决定遗产的处理方式，除非他是唯一的继承人或得到其他继承人的明确同意。

二、遗产的遗嘱继承

如果母亲留下了遗嘱，并明确指定了遗产的分配方式，那么应当按照遗嘱的规定进行分配。在这种情况下，父亲作为继承人之一，需尊重遗嘱的意愿，并按照法律程序执行。他同样无权随意改变遗嘱中规定的遗产分配方式。

三、遗产处理的限制

无论遗产是按照法定继承还是遗嘱继承进行分配，父亲在处理遗产时都需遵循法律规定，不得损害其他继承人的合法权益。如果父亲擅自处理遗产，导致其他继承人遭受损失的，应当承担相应的法律责任。

母亲的抚恤金处理

一、抚恤金的性质

抚恤金通常是对死者家属的经济补助和精神慰藉，其性质与遗产有所不同。抚恤金不属于遗产范畴，因此不适用遗产继承的法律规定。

二、抚恤金的分配原则

抚恤金的分配需根据具体情况和法律规定进行。通常，抚恤金会发放给死者的配偶、子女、父母等直系亲属。在分配时，需考虑各亲属与死者的关系、经济状况、生活需要等因素，以确保抚恤金的合理分配。

三、父亲对抚恤金的处理权限

由于抚恤金不属于遗产，父亲无权单独决定抚恤金的处理方式。抚恤金的分配需遵循相关法律规定和分配原则，确保各直系亲属的合法权益得到保障。如果父亲擅自处理抚恤金，导致其他直系亲属遭受损失的，同样应当承担相应的法律责任。

法律建议：

• 在处理母亲的遗产和抚恤金时，建议家庭成员之间保持沟通，共同协商处理方式，以维护家庭和谐和各成员的合法权益。
• 如果家庭成员之间无法达成一致意见，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以获取更具体的法律意见和帮助。
• 在处理遗产和抚恤金时，务必遵循法律规定和分配原则，不得擅自改变或损害其他成员的合法权益。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。