外卖员在酒店电梯出现故障时是否可以索赔，这主要取决于电梯故障的原因以及酒店是否尽到了其应尽的安全保障义务。
首先，我们要明确的是，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，有义务确保他们所管理或组织的场所内的设施安全，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。这包括电梯等公共设施的正常运行和安全保障。
现在，我们针对外卖员在酒店电梯出现故障的情况进行具体分析：
电梯故障原因：
- 如果电梯故障是由于酒店的管理、维护不当或设备老化等原因造成的，那么酒店很可能需要承担相应的赔偿责任。
- 如果电梯故障是由于不可抗力（如自然灾害）或第三方行为（如恶意破坏）导致的，那么酒店的责任可能会减轻或免除，但酒店仍需证明其已尽到了合理的安全保障义务。
酒店的安全保障义务：
- 酒店作为经营场所的管理者，有义务定期对电梯进行维护和检查，确保其正常运行。
- 如果电梯出现故障或正在维修，酒店应在电梯口设置明显的警示标志，并采取措施阻止人员进入，以避免发生危险。
- 如果酒店未能尽到上述义务，导致外卖员在电梯故障时受伤或遭受其他损失，那么酒店可能需要承担相应的赔偿责任。
索赔流程：
- 外卖员在电梯故障后，应首先确保自身安全，并及时联系酒店工作人员或相关部门报告情况。
- 如果外卖员因电梯故障受伤或遭受其他损失，可以收集相关证据（如现场照片、医疗记录、证人证言等），并向酒店提出索赔要求。
- 如果酒店拒绝赔偿或双方无法就赔偿事宜达成一致，外卖员可以向相关部门投诉或寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。
综上所述，外卖员在酒店电梯出现故障时是否可以索赔，取决于电梯故障的原因以及酒店是否尽到了其应尽的安全保障义务。如果酒店存在过错且未尽到安全保障义务，导致外卖员受伤或遭受其他损失，那么外卖员有权向酒店提出索赔要求。