结论：员工自离，即使私人理发店未与其签订劳动合同，也应当支付员工应得的工资。
分析说明：
劳动关系与工资支付：
- 根据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，只要员工与用人单位之间建立了事实劳动关系，无论是否签订书面劳动合同，用人单位都应当按照约定支付员工工资。
- 在您描述的情况下，员工在私人理发店工作，双方之间形成了事实劳动关系。因此，理发店应当支付员工应得的工资。
未签订劳动合同的法律后果：
- 虽然未签订劳动合同不影响劳动关系的成立和工资的支付，但用人单位未与劳动者签订书面劳动合同是违法的。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。不过，这一规定主要针对的是用人单位未签订劳动合同的违法行为，并不影响员工应得工资的支付。
员工自离的处理：
- 员工自离（即未经批准擅自离职）可能构成违约或违反用人单位的规章制度，但这并不影响其应得工资的支付。
- 用人单位可以依据内部规章制度对员工自离行为进行处理，如扣除部分奖金、福利或要求员工承担一定责任等，但这些处理措施不能违反法律法规的规定，也不能剥夺员工应得的基本工资。
行动建议：
- 对于员工：如果您是自离的员工，您有权要求理发店支付您应得的工资。如果理发店拒绝支付，您可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
- 对于理发店：作为用人单位，理发店应当尽快与员工补签劳动合同（如果员工愿意继续工作的话），并支付员工应得的工资。同时，理发店也应当加强内部管理，完善规章制度，避免类似情况再次发生。如果员工自离给理发店造成了损失，理发店可以通过合法途径要求员工承担相应责任，但不能以此为由拒绝支付工资。
法律后果提示：
- 如果理发店拒绝支付员工工资或未依法与员工签订劳动合同，可能会面临劳动监察部门的处罚、员工的劳动仲裁申请或诉讼等法律后果。这些后果不仅会影响理发店的声誉和经营，还可能给理发店带来不必要的经济损失。
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