在劳动纠纷起诉中，要求公司提交相关证据的申请时机及方式如下：

核心结论：您既可以在庭审前通过“证据交换”程序或向法院提交书面申请要求公司提交证据，也可以在庭审中通过申请法院责令对方提交或利用举证质证环节要求对方出示证据。具体操作需结合案件进展和证据重要性灵活选择。

1. 庭审前的申请方式

   • 证据交换程序：根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第三十七条，法院组织证据交换时，您可要求对方提交与案件相关的证据材料。若对方未提交，可在交换时明确提出异议，并申请法院责令其提交。
   • 书面申请：在举证期限届满前，您可向法院提交书面申请，明确要求对方提交特定证据（如劳动合同、工资记录等）。申请需写明证据名称、证明目的及对方持有该证据的事实依据（如公司曾通过邮件发送工资条）。

2. 庭审中的申请方式

   • 申请法院责令提交：若对方在庭审中拒绝出示关键证据，您可依据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第四十八条，申请法院责令其提交。法院审查后认为证据与案件基本事实有关的，会要求对方提交，否则可能承担不利后果。
   • 举证质证环节：在对方出示证据时，您可直接要求其提供与案件相关的其他证据（如“请出示完整的考勤记录，而非仅提供部分月份”）。若对方拒绝，可记录在庭审笔录中，并后续申请法院处理。

操作建议：

• 优先在庭审前申请：若证据对案件走向至关重要（如证明劳动关系、工资标准等），建议在举证期限内通过书面申请或证据交换程序要求对方提交，避免庭审中被动。
• 庭审中灵活应对：若对方在庭审中突然出示新证据或拒绝出示已有证据，可立即申请法院责令提交，并强调证据与案件核心事实的关联性。
• 保留证据线索：申请时需提供对方持有证据的具体线索（如“公司曾通过XX邮箱发送工资条”），否则法院可能因无法确认证据存在而驳回申请。

法律依据：

• 《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第三十七条、第四十八条
• 《民事诉讼法》第六十八条（当事人对自己提出的主张应当及时提供证据）

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