结论：公司员工三人犯一样的错，只开除一人，该员工是有权申请劳动仲裁的，但能否成功需视具体情况而定。以下从多个角度进行分析：
一、从劳动仲裁的申请资格角度
劳动仲裁是劳动者与用人单位之间因劳动权益发生争议时，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁解决的一种方式。只要劳动者认为自己的劳动权益受到了侵害，无论这种侵害是来自用人单位的何种行为，都有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。因此，在该案例中，被开除的员工完全有权申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
二、从用人单位开除行为的合法性角度
规章制度的角度：
- 如果公司的规章制度中明确规定了对于某种错误行为的处罚措施，且该规章制度已经经过民主程序制定、公示或告知劳动者，那么公司依据规章制度对犯错员工进行开除处理，在程序上是合法的。
- 但若规章制度中未明确规定对于三人犯同样错误只开除一人的情况，或者规定不明确、存在歧义，那么公司的开除行为可能缺乏合法依据。
公平性的角度：
- 劳动法强调公平原则，要求用人单位在处理劳动者时应当一视同仁，不歧视、不偏袒。如果公司对于犯同样错误的员工采取不同的处罚措施，且没有合理的理由进行解释，那么这种开除行为可能违反了公平原则。
- 在该案例中，如果公司无法提供合理的理由说明为何只开除其中一人，而保留其他两人，那么被开除的员工在劳动仲裁中有可能获得支持。
证据的角度：
- 公司在开除员工时，需要提供充分的证据证明员工确实存在违反规章制度或严重失职、营私舞弊等行为。如果公司无法提供足够的证据支持其开除决定，那么该决定可能被认定为违法。
- 在该案例中，如果公司无法证明被开除的员工与其他两人存在不同的错误程度或情节，那么其只开除一人的决定可能缺乏证据支持。
三、从劳动仲裁的可能结果角度
- 如果劳动争议仲裁委员会认为公司的开除行为违法，那么它可能会裁决公司撤销开除决定，恢复员工的劳动关系，并可能要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。
- 如果劳动争议仲裁委员会认为公司的开除行为合法，那么它可能会驳回员工的仲裁请求。
四、建议
- 对于被开除的员工：如果你认为公司的开除行为违法，且你有足够的证据支持自己的主张，那么你可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
- 在申请仲裁前：建议你先收集并整理好相关证据，如公司的规章制度、你的工作记录、与公司的沟通记录等，以便在仲裁过程中更好地证明自己的主张。
- 对于公司：建议公司在处理类似情况时，应当遵循公平、公正的原则，确保处理决定的合法性和合理性。同时，公司也应当加强规章制度的制定和执行力度，以避免类似的劳动争议发生。
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