若对方赠送物品价值不超过2000元，法院在处理时通常会结合具体情境，判断该赠与行为的性质及效力，进而决定是否支持相关诉求。以下分情况详细说明：
在普通的赠与关系中，若赠与行为已经完成（即物品已经实际交付给受赠人），且不存在法定撤销情形（如受赠人严重侵害赠与人或其近亲属的合法权益、对赠与人有扶养义务而不履行、不履行赠与合同约定的义务等），则赠与人通常无权要求受赠人返还物品或支付等价款项。在此情况下，若双方因赠与产生纠纷并诉至法院，法院一般会认定赠与行为有效，驳回赠与人要求返还的诉求。
若赠与行为附有条件或义务（如以结婚为目的的赠与、附有特定使用目的的赠与等），且受赠人未履行相关条件或义务，则赠与人有权要求撤销赠与，并要求受赠人返还物品或支付等价款项。在此情况下，若双方因此产生纠纷并诉至法院，法院会根据赠与合同的约定及实际履行情况，判断赠与人是否有权撤销赠与，并据此作出相应判决。
若赠与行为存在不当得利（如受赠人通过欺诈、胁迫等手段迫使赠与人作出赠与）或赠与人因重大误解而作出赠与等情形，赠与人有权要求撤销赠与并要求返还。在此情况下，法院会审查赠与行为的合法性及是否存在可撤销的情形，并据此作出判决。
若赠与的物品属于夫妻共同财产或涉及家庭关系（如父母对子女的赠与），则赠与行为的效力可能受到婚姻法或家庭法的调整。例如，若一方未经另一方同意擅自将夫妻共同财产赠与他人，则该赠与行为可能被认定为无效或部分无效。在此情况下，法院会根据相关法律法规及案件具体情况，判断赠与行为的效力及处理方式。