关于您提出的“患病未请假是否会被开除”的问题，这并非一个简单的“是”或“否”的答案，而是需要根据具体情况、公司规章制度以及相关法律法规来综合判断。
首先，我们要明确的是，员工患病时享有相应的医疗期，这是劳动法赋予劳动者的基本权益。在医疗期内，员工因病无法工作，有权享受病假，并且企业在此期间不得随意解除劳动合同。然而，这并不意味着员工可以完全不履行请假手续。
从公司规章制度的角度来看，大多数公司都会制定明确的请假流程，包括病假的申请、审批等环节。这些规定旨在确保公司运营的秩序和效率，同时也保障员工的合法权益。如果员工因病未能按照公司规定的流程履行请假手续，公司可能会根据规章制度进行相应的处理。
以您提供的两个案例为例：
在第一个案例中，曲某虽然患病，但在一段时间后未再按公司规定的病假审批流程履行请假手续，仅向公司邮寄建议休息单，未经审批同意即擅自不到岗上班。公司多次通知其返岗并按照制度请假，但曲某置之不理。最终，公司以曲某未履行休假审批手续构成旷工5天以上为由，解除了劳动合同。这个案例表明，如果员工严重违反公司规章制度，即使患病也可能面临被开除的风险。
在第二个案例中，孙某因突发重感冒并伴有高烧，无法前往公司上班。虽然他未按照公司规定的流程提交书面请假申请，但他在病发初期已通过电话向直接主管说明了情况。法院在审理此案时，考虑了孙某因病未能及时履行请假手续的具体情况，并依据劳动法相关规定，判决公司撤销对孙某的自动离职决定，并恢复其劳动关系。这个案例则表明，如果员工因病未能及时履行请假手续，但已尽到合理的告知义务，且病情属实，公司不应仅凭未履行书面请假手续就认定其自动离职。
综上所述，患病未请假是否会被开除，取决于多个因素的综合考量，包括公司规章制度的具体规定、员工未请假的原因和情节、以及相关法律法规的适用等。因此，我建议您在患病时，尽量按照公司规定的流程履行请假手续，以确保自己的合法权益得到保障。如果因病情紧急或特殊情况无法及时履行请假手续，也应及时与公司沟通并说明情况，以避免不必要的纠纷和损失。