结论：在两位老人共同立遗赠的情况下，其中一位老人去世后，受遗赠人并不需要立即在60日内写声明接受遗赠，而是需要在一方老人去世后，整体遗赠开始生效时，在法定期限内（通常是自知道受遗赠后60日内）作出接受遗赠的表示。

详细分析：

1. 遗赠的生效时间：

   • 遗赠是遗嘱人通过遗嘱的方式，将其遗产的一部分或全部无偿赠给国家、社会组织或者法定继承人以外的人的法律行为。在两位老人共同立遗赠的情况下，遗赠的生效通常是在两位老人都去世后，或者按照遗嘱中约定的条件成就时。因此，仅其中一位老人去世，并不直接导致遗赠生效，除非遗嘱中有特别约定。

2. 接受遗赠的期限：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，受遗赠人应当在知道受遗赠后六十日内，作出接受或者放弃受遗赠的表示；到期没有表示的，视为放弃受遗赠。这里的“知道受遗赠后六十日”是指从受遗赠人得知遗赠事实之日起算，而非从某一位老人去世之日起算。

3. 实际操作建议：

   • 在两位老人共同立遗赠的情况下，如果其中一位老人去世，受遗赠人应密切关注遗嘱的生效条件及另一位老人的健康状况。一旦遗嘱生效条件成就（如另一位老人也去世），受遗赠人应尽快在法定期限内作出接受遗赠的表示，以免错过时机。
   • 接受遗赠的表示可以通过书面形式向遗产管理人或相关继承人作出，也可以采取其他能够证明受遗赠人意思表示的方式。

4. 特殊情况考虑：

   • 如果遗嘱中有特别约定，如“其中一位老人去世后，受遗赠人需在特定期限内作出接受遗赠的表示”，则受遗赠人需遵循该约定。
   • 如果受遗赠人在法定期限内因特殊原因无法作出接受遗赠的表示（如因病住院、出国等），应及时与遗产管理人或相关继承人沟通，说明情况并寻求解决方案。

法律后果：

• 如果受遗赠人在法定期限内未作出接受遗赠的表示，则视为放弃受遗赠，遗赠的财产将按照法定继承或其他遗嘱安排进行分配。
• 如果受遗赠人错误地认为需要在某一位老人去世后立即作出接受遗赠的表示，并因此错过了法定期限，将可能丧失受遗赠的权利。

总结与建议：

• 在两位老人共同立遗赠的情况下，受遗赠人应密切关注遗嘱的生效条件及老人的健康状况，确保在遗嘱生效后及时在法定期限内作出接受遗赠的表示。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。