结论：公司可以在劳动合同到期最后一天与员工解除劳动合同，但需根据具体情况判断是否需要支付经济补偿，并确保解除程序合法合规。以下从不同角度进行分析：
一、劳动合同到期终止的合法性
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。这意味着，在劳动合同到期最后一天，公司有权选择不与员工续签劳动合同，从而终止双方的劳动关系。这一行为本身是合法的，但公司需确保在终止劳动合同时，已经履行了相应的通知义务（如提前通知员工劳动合同即将到期，并询问是否愿意续签），且没有违反其他法律法规的强制性规定。
二、经济补偿的支付问题
公司提出不续签的情况：如果公司决定在劳动合同到期后不与员工续签，根据《劳动合同法》的规定，公司应当向员工支付经济补偿。经济补偿的标准按照员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
员工提出不续签的情况：如果员工在劳动合同到期前明确表示不愿意续签，或者员工以实际行动表明不愿意继续在公司工作（如提前离职、找到新工作等），则公司无需支付经济补偿。但需要注意的是，如果员工是因为公司降低了原劳动合同约定的条件（如降低工资、变更工作地点等）而拒绝续签的，公司仍需支付经济补偿。
三、解除程序的合法性
无论公司还是员工提出不续签劳动合同，双方都应当遵循合法、公正、公平的原则，确保解除程序的合法性。具体来说，公司应当提前与员工沟通劳动合同到期事宜，明确告知员工是否愿意续签，并听取员工的意见。如果公司决定不续签，应当向员工出具书面通知，并按照法律规定支付经济补偿（如适用）。同时，公司还应当协助员工办理离职手续，如转移社保关系、结清工资等。
四、特殊情况下的处理
如果员工在劳动合同到期前处于医疗期、孕期、产期或哺乳期等特殊时期，公司不得仅因劳动合同到期而终止劳动关系。根据《劳动合同法》的规定，在这些特殊时期内，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。因此，如果员工在劳动合同到期最后一天仍处于这些特殊时期内，公司应当继续履行劳动合同，直至相应情形消失后再考虑是否终止劳动关系。
建议：公司在处理劳动合同到期终止事宜时，应当谨慎对待，确保解除程序的合法性和合规性。如果员工对公司的决定有异议或存在争议，建议双方通过协商、调解或仲裁等方式解决。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。