针对您提出的“公司员工因第三方责任承担工伤保险责任，公司可以索赔吗”这一问题，以下是我的详细解答：
首先，明确结论：在工伤涉及第三方赔偿的情况下，公司并不能因此免除其工伤保险责任，但公司是否可以向第三方索赔或要求员工返还部分费用，需根据具体情况及法律法规综合判断。不过，通常情况下，公司直接向第三方索赔并非主要途径，而是需确保员工获得应有的工伤保险待遇，并在特定情况下可能承担补充赔偿责任。
接下来，详细分析：
工伤保险的基本原则与双重赔偿：
- 工伤保险是法定的社会保险，旨在为员工提供因工作遭受事故伤害或患职业病时的医疗救治和经济补偿。
- 员工因工伤有权同时要求第三方进行民事赔偿和向工伤保险机构申请工伤保险待遇，这遵循双重赔偿原则。但医疗费用等实际发生的费用，若已从第三方获得赔偿，工伤保险基金或用人单位可能只需对不足部分进行补充支付。
公司的具体赔偿责任：
- 停工留薪期工资福利待遇：无论是否有第三方赔偿，公司都有义务支付员工停工留薪期间的原工资福利待遇。
- 伤残津贴：对于被鉴定为五级、六级伤残且难以安排工作的员工，公司应按月发放伤残津贴。
- 补充赔偿责任：在部分地区，若第三方赔偿不足以弥补员工实际损失，公司可能需对差额部分承担补充赔偿责任。
- 工伤保险购买义务：公司有义务为员工购买工伤保险。若未依法购买，则本应由工伤保险承担的费用将由公司全额承担。
公司向第三方索赔的考量：
- 通常情况下，公司并不直接向第三方索赔，而是确保员工获得应有的工伤保险待遇。
- 若公司认为第三方应承担全部或部分责任，且该责任与公司的工伤保险责任不重叠（如第三方造成的财产损失等），公司可考虑通过法律途径向第三方追偿，但这并非工伤保险责任的范畴。
- 在实际操作中，公司更侧重于协助员工进行工伤认定和赔偿申请，以及履行自身的工伤保险责任。
法律依据与维权途径：
- 根据《工伤保险条例》等相关法律法规，公司有义务为职工缴纳工伤保险费，并在职工发生工伤时提供必要的医疗救治和经济补偿。
- 如果公司拒绝履行其依法应承担的工伤赔偿责任，劳动者可以通过劳动仲裁、诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。
最后，实例说明：
假设某员工在工作中因第三方（如供应商、客户等）的过失导致受伤，该员工首先有权要求第三方进行民事赔偿。同时，该员工也有权向工伤保险机构申请工伤保险待遇。在此过程中，公司需支付员工停工留薪期间的工资福利待遇，并可能需承担补充赔偿责任（如第三方赔偿不足时）。公司并不能因存在第三方责任人而免除其工伤保险责任，但也不直接向第三方索赔工伤保险待遇部分，而是确保员工获得全面、合理的赔偿。
综上所述，公司员工因第三方责任承担工伤保险责任时，公司并不能免除其工伤保险责任，但需根据具体情况及法律法规综合判断是否承担补充赔偿责任或向第三方追偿（非工伤保险待遇部分）。公司应充分了解相关法律法规，确保合法合规地履行其赔偿责任和义务。