国家机关不同环节造成的共同损失，可通过以下步骤申请赔偿：

1. 明确责任主体与环节
   首先需确定造成损失的具体国家机关及其责任环节。例如，行政审批环节的延误、执法过程中的违法行为、司法裁判的错误等。不同环节可能涉及不同机关（如行政机关、司法机关），需通过调查取证（如书面材料、证人证言、鉴定意见等）明确各机关的过错程度及因果关系。若多个机关存在共同过错（如联合执法中的违法行为），可能构成共同责任；若过错独立，则按各自责任比例分担。

2. 选择赔偿程序
   根据责任主体性质，选择对应的赔偿程序：

   • 行政赔偿：若损失由行政机关（如政府、部门）及其工作人员在行使职权时造成（如违法拘留、错误征收），依据《国家赔偿法》第四条，向赔偿义务机关（实施侵权行为的机关）提出书面申请，需在知道侵权行为之日起2年内提出。赔偿义务机关应在2个月内作出决定，逾期未答复或不服决定的，可向其上一级机关申请复议，或直接向法院提起行政赔偿诉讼。
     
   • 司法赔偿：若损失由司法机关（如法院、检察院）在司法活动中造成（如错误判决、违法采取强制措施），依据《国家赔偿法》第二十一条，向作出最终错误决定的机关提出申请（如错误判决由法院赔偿，违法拘留由检察院赔偿）。程序与行政赔偿类似，但需注意司法赔偿的特殊性（如刑事赔偿需先确认违法，通常通过申诉或再审程序）。
     
   • 共同赔偿：若多个机关共同侵权（如联合执法中均有过错），可向其中任一机关申请赔偿，该机关应先赔偿，再向其他责任机关追偿；也可直接以共同侵权机关为被告提起共同赔偿诉讼。

3. 准备赔偿申请材料
   申请需提交书面材料，包括：

   • 赔偿申请书（载明申请人信息、请求事项、事实与理由）；
     
   • 证明损失存在的证据（如财产损失清单、医疗费用单据、收入减少证明等）；
     
   • 证明国家机关侵权行为的证据（如行政处罚决定书、司法裁判文书、执法记录等）；
     
   • 身份证明（如身份证、营业执照等）。
     若委托他人代理，需提交授权委托书及代理人身份证明。

4. 后续救济途径
   若赔偿申请被拒绝或对赔偿金额不满，可采取以下措施：

   • 行政赔偿：向赔偿义务机关的上一级机关申请复议，或直接向法院提起行政赔偿诉讼（需在收到赔偿决定或复议决定之日起3个月内起诉）。
     
   • 司法赔偿：向赔偿义务机关的上一级机关申请复议，若对复议决定仍不服，可向复议机关所在地的同级法院赔偿委员会申请作出赔偿决定（需在收到复议决定之日起30日内提出）。
     
   • 共同赔偿：若对共同赔偿的分配比例不服，可针对具体责任机关的赔偿决定分别申请复议或诉讼。

注意事项：

• 赔偿范围通常限于直接损失（如财产毁损、人身伤害的医疗费），间接损失（如预期收益）一般不予赔偿，但法律另有规定的除外（如《国家赔偿法》第三十六条规定的部分间接损失）。
  
• 申请赔偿需严格遵守时效规定，逾期可能丧失权利。
  
• 若涉及复杂法律问题（如因果关系认定、责任比例划分），建议委托专业律师协助处理，以提高赔偿成功率。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合具体案情提供详细法律分析。